3. Dereceden Denklem sorusu

Question

$3a^3-a^2+2a-8$  denkleminin hangi araliginda sadece bir reel sifiri vardir?

cevap:(1,2)

Yorum getiremedim..... Nasil cozulur mantigi nedir?

Comments

$f$ surekli bif fonksiyon olsun ve $f(a)<0$ ve $f(b)>0$ olsun. Sureklilik geregi $a$ ile $b$ arasindaki bir $c$ degeri icin $f(c)=0$ olmali. 

Bu Ara Deger Teoremi olarak gecer, litaraturde.

Bunu kullanmayi deneyebilirsiniz.

---

Hocam hicbisey anlamadim :/ 11. Sinif mufredatina gore  nasil dusunmeliyiz?

---

Bu sekilde dusunmelisiniz. Bu dedigim zor bir olay degil. Kagit kalem alip bir iki ornek uzerinde bunu demeye calisin, anlamaya calisin, zor degil. Ilk okula baslamamis bir kisi bile bunu anlayabilir, o kadar kolay.

---

$ f(a)=3a^3-a^2+2a-8 $ fonksiyonu için 

a=1 için fonksiyon -4 değerini, a=2 için fonksiyon 16 değerini alır

Fonksiyon bu aralıkta işaret değiştiriyor. 

Yani bu aralıkta fonksiyonun kökü var.

---

Sercan hocam ben sizin verdiginiz tanimi tam  anlamadim. Mesela o a   b degerlerini neye gore sececem ki?musaitseniz rica edersem  Biraz daha ayrintili anlatabilirmisiniz hocam?

---

@suitable2015 hocam isaret degistirmeyle kokun nasil bir iliskisi var analamdim?

---

simdi dedigim gibi ciz.

0) kordinant eksenlerini ciz
1) $(2,-3)$ notasini  ciz
2) $(5,5)$ noktasini ciz
3) elini kaldirmadan $(2,-3)$ noktasindan $(5,5)$ noktasina gitmeye calis. 

Bu surecte $x$ eksenini kesmen gerekecek illa ki, degil mi?

---

Aynen hocam (2,5) araligindan gecen dogru parcasi oldu.

Ama  oncede yazdigim gibi bu degerleri neye gore seciyoruz? Yani neden (2,-3) (5,5)?

---

Bu bir ornekti. Negen $x$ ekseninden gecmek zorunda kaldin? Cunku biri alt (eksi) ve biri ust (arti) tarafta kaliyordu.
Simdi ilk yorumuma geri don ve genel olani anlamaya calis.

---

Aaa anladiim , iki nokta y eksenine gore negatif ve pozitif bolgede kaliyorsa bu iki nokta arasinda mutlaka fonksiyonu sfirlayan bir kok vardir. Cunku x eksenini kesiyoruz. 

Buraya kadar tamam hocam ama bunu nasil soruya uygulayacam ki? Sizi de yordum ama..

---

Bunun icin de @suitable2015'in yoruna bakabilirsin.

---

Hocam ama yine ayni kapiya geliyor :) 1 ve 2 nerden geldi :) yani cok karmasik denklemlerde karsima cikabilir bir goruste ulamam bu degerleri cunku sonsuzca var. Bu ara degerleri bulabilicegimiz genel bir cozum yok mu?

---

Bir iki deger denersin. Ilk olarak 0,1,2,..  gibi degerleri. Bu biraz tahmin isi. Polinomlar da basit biraz, tahmin etmesi kolay olabiliyor.

---

Anladim hocam tesekkurler , yani deneme yanilma yapacaz  hep

---

@Sercan @Suitable2015 soru hangi aralıkta bir kökü olduğunu sormuyor ama. Hangi aralıkta "sadece" bir kökü vardır diyor. Dolayısıyla sizin yönteminiz biraz eksik sanki?

---

Sayın Özgür,  a nın değerleri -8 den 8'e kadar denenirse,

2 den sonra fonksiyonun değerinin  hep pozitif olduğu görülür, 

yani a=2 den sonra kökü yok, reel sıfırı yok. 

Benzer şekilde a=0 ve öncesi için fonksyon  hep negatif,

yani fonksiyonun bu aralıkta reel sıfırı yok, Geriye ne kaldı?

İstenen aralık.yani (1,2) aralığı. Saygılarımla

---

Sadece bir kismina dikkat etmemisim. Evet, bu durumda ek olarak Turev ile de ilgilenmek gerekir. 

Hatta tek/biricik kokunun bu aralikta oldugunu da gosterebiliriz. 

---

peki daima artan olmayan,birden fazla reel kökü olan bir polinom için,   sadece bir kök  olan aralık sorulabilir mi?nasıl bir yol izleriz.

---

Sayın Hulya, Evet, sorulabilir. Sorulacak kök aralığı, 

diğer iki kök arasındaysa örneğin (a,b) aralığındaysa 

(a,b) aralığında fonksiyonun aldığı değerlerin işaretleri incelenir

 fonksiyon değerinde işaret değişimi olunca aranan kök aralığı bulunabilir.

 Aralıkta kök varsa f(a)*f(b)<0 olmalı, yani bir fonksiyon değeri negatif,  

diğer  fonksiyon değeri pozitif olmalıdır.

---

takıldığım nokta şu aslında;

(a,b) aralığı için f(a).f(b) <0  bulduğumuzda,  kesinlikle bu aralıkta sadece 1 kök vardır diyebilir miyiz?  yoksa en az 1 kök vardır mı deriz.

---

Her (a,b) aralığı için f(a).f(b) <0  ise bir kök vardır.

Eşitsizlik kaç aralıkta sağlanırsa o kadar kök vardır.

Sorunuza yanıtım sadece bir kök vardır.

En az bir kök olması için f(a).f(b) <0  eşitsizliği birden fazla sağlanmalıdır.

Yani kökün sol ve sağındaki fonksiyon değerleri ters işaretli olmalıdır.

---

Hulya, soruna soyle cevap vereyim. 

Turevini alinca, polinomlar da guzel fonksiyonlar,  azalan artan araliklari bulabiliriz. Bunlar da sonlu sayida oludugundan (polinomlarin kokleri sonlu sayida olur, eger sifir polinomu degilse) bu tarz aralikta (azalan ya da artan parcalarda) ayni mantik ile ya bir kok vardir, ya hic yoktur.

Kisacasi sadece turev yeterli. Fakat turevi sifir yapan noktalari bulabilmemiz sarti ile.. Eger polinom dusuk dereceli ya da kolay bir polinom ise bu kokleri de rahatlikla bulabiliriz.

---

işte şimdi kafamdaki soru işaretleri kalktı.İkinize de teşekkür ederim.

---

Sayın Hulya, rica ederim, ben size teşekkür ederim.

---

Bu soruya yapılan yorumların tamamını okudum. Çok güzel yorumlar yapılmış. Ben de bu soru ve yapılan bazı yorumlar için fikrimi belirtmek istiyorum. 

Bir defa soruda bir denklemden söz edilmiş olmasına rağmen ortada bir denklem yok. Tüm yorumcuların verilenin bir denklem olduğunu varsaymalarını anlayamadım. Diyelim ki verilen ifade sıfıra eşittir. 

@Sercan hocamın, Ara Değer Teoremi olarak ifade ettiği teoremin ifadesinin "a ile b arasındaki bir c değeri için f(c)=0 olmalı" ifadesi yerine " a ile b arasında en az bir c değeri için f(c)=0 olmalıdır" şeklinde olmalıdır. @Ozgur hocanın çok haklı olarak belirttiği gibi,soruda hangi aralıkta yalnız bir reel kökünün varlığının sorması çok önemlidir. Nitekim @Hulya hocanın da emin olmak için sorduğu soruda  önemlidir. 

Soruyu soran arkadaşın 11. sınıf olması (dolayısıyla türevi görmemiş olması) sebebiyle bu tip soruları deneme yanılma yolu ile çözmekten başka bir yolunun olmadığını anladığını sanıyorum. Tabii böyle olunca da bu ve benzeri soruların 11. sınıf müfredatı kapsamında sorulmasını pek doğru bulmadığımı belirtmek istiyorum. Çünkü tam anlaşılması için türevin bilinmesine ihtiyaç olduğu tartışmalardan ortaya çıktı.

@suitable2015'in @Hulya'ya verdiği cevabın tartışılır olduğunu düşünüyorum. Mesela reel tanımlı ve değerli, $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ şeklinde tanımlı $f$ fonksiyonunda  $f(-2).f(4)<0$ olduğu açıktır. Ancak $(-2,4)$ aralığında bu fonksiyonun yalnız bir kökü var demek ne kadar  doğrudur.

Son olarak; yukarıdaki yorumlarda bulunan $(1,2)$   aralığı söz konusu kökü kapsayan en dar aralık mı? yoksa değil mi? sorusunun da önemli olduğunu ifade etmeliyim.

---

Soruyu soran arkadaşın dikkatine:

Fonksiyonların sıfırları, denklemlerin de kökleri olur. Oysa $$a^3-a^2+2a-8$$ ifadesi fonksiyon da değildir denklem de.

---

Mehmet hocam , sormaya çalıştığım şey tam da verdiğiniz örnekteki durumdur.Bu arada geçen gün hatırlayamamıştım bu teorem aradeğer teonun özel hali olan  Bolzano teo.

Anladığım kadarıyla tek kök aralığı bulmak için seçilecek (a,b) önemli.Bu noktada bu (a,b) yi nasıl seçeriz? diye sorarsakta Sercan hocanın "türev alıp, artan-azalan parçalarda ya 1 kök vardır ya da hiç yoktur." ifadesi beni aydınlattı.

Son olarak sorudaki polinom sürekli artan old için tek köke sahip  -bu da grafik çizdiğimde 1.33 çıktı-

Tek köke sahip denklem için teo yu sağladığı sürece aralık sorun olmayacaktır.Çok köklü içinde bahsettiğim şekil ilerlenebilir.

---

Haklısınız Hulya hocam. Gene de bu soru türev bilmeyen birine zor anlatılacak bir sor diye düşünüyorum. 

---

Herkese tesekkur ederim iligilendiginiz icin .. 

Soru 11 kategorisinde ama bunlar ileri sorular turevdir integraldir bunlari bilmem az cok ogreniyorum .

İyi  geceler hocalarim..

---

Ben seceneklere gore sorulmus bir soru oldugunu dusunuyorum: Eger secenekler 

$(-1,0)$
$(0,1)$
$(1,2)$
$(2,3)$
$(3,4)$

gibi ise sadece degerleri koyup isaret degisimine bakarsin.

Tabi bu matematik mi olur? Olmaz.

---

Aynen sercan hocam hoca da bana oyle cozdu ama kabullenemedim