Bir satranç tahtasındaki karelere sırasıyla $1,2,2^2,2^3,2^4$ sayıları yazılıyor buna göre tüm karelere aynı kural ile sayılar yazılırsa bu sayıların toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır ?
Bu soru matematik yazılımızda soruldu ben $1+2+4+8+16...2^{64}$'e kadar açtım farkettimki $2+8$,$4+16$ bunun gibi sayılar $10$ ile tam bölündüğünden kalan $1$'dir dedim siz ne diyorsunuz veya cevabım doğrumudur ?
bir de böyle bir tip sorunun yazılı sınavında sorulmasını öneriyormusnuz ? çünkü her öğrenci ayrı bir çözüm yapmış ve %70'i boş bırakmış.
$2^n+2^{n+2}=2^n(1+4)=5\cdot 2^n$ olur ve $n\ge 1$ ise $10$ sayisina tam bolunur.Bu kisim tamam, bunu tam olarak nasil kullandin?
Satranç tahtası 8x8'dir yani 64 kare vardır.
$2^0+2^1+2^2+...+2^{63}$ değerinin birler basamağını arıyoruz.
$(2+4+8+16)+(32+64+128+256)+...$ diye bölündüğünde her $4$lü grubun sonunun $0$ olduğunu görürüz (tabanı $2$ olanlar için)
Burada $63$ adet tabanı $2$ olan terim varsa $60$ tanesi gider ve en sonda elimizde
$1+2^{61}+2^{62}+2^{63}$ kalır bunları da $mod10$ a göre açarsak
$1+2+4+8$ gelir
bu da mod10'a göre $5$ eder.
$64$ kare varsa $2^{64}$'e kadar gitmez ki dostum. $2^0+2^1+...+2^{63}$ olmak üzere $63$te biter.
evet ya farkedemedim onu gitti 10 puan
Sıkıntı yapma,olur arada öyle şeyler.Soru çözmeye devam bu konuda dikkatli olursak zaten soru kaçmaz.
saymaya 0 dan başlamalıydın. 64 yerine 63 olacaktı.
baykus adlı üyenin cevabı doğru. Cevap 5 olmalıydı.
$$1+2+2^2+\cdot+2^n=2^{n+1}-1$$ olur. Bunu gosterebilirsiniz. Ayrica $a \ne 1$ icin $$1+a+a^2+\cdots+a^n=\frac{a^n-1}{a-1}$$ olur, daha genel olarak. Buradan da sonucu bulabilirdin.tek tek gitme dahaiyi olmus: $$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}+2^{n+3}=2^n(1+2+4+8)=15\cdot 2^n$$ olur ve $n\ge 1$ icin $10$'a bolunur.Son ufak hatan harici bir sorun yok. O da basit bir hata.