Fonksiyonların A bölgesindeki Laurent serileri ?

Question

 ve  fonksiyonlarının

 bölgesindeki Laurent serilerileri nedir?

Answer 1

İkincisinde basit kesirlere ayırım yapılırsa, $f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{1+(z-1)}=\frac{1}{z-1}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (z-1)^n, \hspace{10px} 0<|z-1|<1.$ 

İlki belki daha sonra gelir.

Comments

cevap için sağol.

---

ilkini çarşambaya kadar yetiştirmem lazım

---

Benzer şekilde yapılabilir. 

$$f(z)=\frac{1}{z^2-2}=\frac{1}{2\sqrt 2}\left(\frac{1}{z-\sqrt 2}-\frac{1}{z+\sqrt 2}\right)$$ İkinci terimle oynayalım: $$\frac{1}{z+\sqrt 2}=\frac{1}{(z-1)+(1+\sqrt 2)}=\frac{1}{(\sqrt 2+1)+(z-1)}=\frac{1}{(\sqrt 2+1)}\frac{1}{1+\frac{z-1}{\sqrt 2+1}}$$ $|z-1|<1\Rightarrow \frac{|z-1|}{\sqrt 2+1}<1$ olduğundan, bu terimin açılımı, $$\frac{1}{z+\sqrt 2}=\frac{1}{(\sqrt 2+1)}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{z-1}{\sqrt 2+1}\right)^n$$ bulunur. Eksili terimin açılımı daha sonra...  Ama bu şekilde olacak. 

---

bazı terimler neye göre taylor olarak açılıyor? bu terim neden $(z-1)$ değil $1+\sqrt{2}$ parantezine alındı?

---

Sana verilen bölge herşeyi belirliyor dikkat ettiysen. $\frac{1}{1+x}$'in $|x|<1$ için yakınsak oldu biliniyor. Sana verilen bölgede ise $|x|<1$ değil $|z-1|<1$ verilmiş. Onunu için sana verilen fonksiyonu modülünün 1'den küçük olduğunu bildiğin $z-1$'ler cinsinden yazıp açılımı yapıyorsun.

---

eksili terimin açılımı nedir?