$ HK / K $ bölüm grubuyla $ H / K $ bölüm grubu farkı

Question

$ G $ bir grup, $ H $ ve $ K $ sırasıyla $G$'nin altgrubu ve normal altgrubu olarak verilsin. Ayrıca $K$ , $H$'nin içinde.

$ HK / K $ bölüm grubuyla $ H / K $ bölüm grubu arasındaki fark nedir? Tanım olarak ikisi de $ hK $ şeklindeki elemanlardan oluşmuyor mu?

Comments

$K$ kimin normal altgrubu? $H$'nin mi? $G$'nin mi?

---

$HK$ nın altgrup yani grup olması için $ K$ nın $G$ de normal olması gerekiyor. Ayrıca $H/K$ dan söz edebilmemiz için $K$;  $H$ içinde yer almalı. 

---

Özgür ve Handan'a teşekkürler, düzenledim soruyu.

Answer 1

$K$ $H$'ın içinde olduğu için $HK=H$. O yüzden $HK/K$ ile $H/K$ arasında hiçbir fark yok.

(Bir küçük gereksiz çözüm daha. $\varphi : HK \rightarrow H/K$ olsun ve $\varphi(hk)=hK$ olarak tanımlansın. $\varphi$'ın homomorfizma olduğunu kolayca gösterebilirsiniz. Şimde $Ker(\varphi)$'na bakalım. $hK=K$ ise $h\in K$. Öyleyse $Ker(\varphi)=H\cap K=K$. Yani birinci izomorfizm teoremine göre $HK/K$ ile $H/K$ aynı yapılar.)

Comments

Sorunun kendisi gereksizmiş zaten! Teşekkürler.