$1+e^3$, $\mathbb{Q}$ üzerinde cebirsel mi transandant mı?

Question

ilk olarak

$1+e^3=x$ ve burdan $\sqrt[3]{x-1}-e=0$

olarak yazdim. Başlarda sezgisel olarak transandant oldugu konusunda emin gibiydim. Ama sonra ya $1+e^3$ bunun kökü oldugu için Q üzerinde cebirsel ise dedim. Sonra vazgectim çünkü $1+e^3$ rasyonel değil zaten dedim. Daha sonra rasyonel veya tamsayı katsayılı n. dereceden herhangi bir kökü olmalı dedim cebirsel olması için. Böyle dedikçe benim aklım karıştı. Acaba transandant mı degil mi ? Yardımcı olablirseniz memnun olurum.

Comments

Lindemann–Weierstrass Teoremine bir bak.

Ve onun bir sonucu olan su lemma isini gorur.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem

---

keşke anlatacak birisi olabilseydi. Türkçesine baktım cok beter bir ceviri geldi. şöyle devam edeyim.

e^α_n 

^{_{bu ifadeler cebirsel olarak bagımsız Q üzerinde diyor. Sonrada}}

 "ℚ(eα1, ..., eαn) has transcendence degree n over ℚ" anladıgım kadarıyla genişleme cismi Q üzerinde transandant diyor.

 

kusura bakmayın benim kafam karıstı. Cebirsel olarak bagımsızlık falan pek kavrayamadım.

biraz asagı inincede " eα cannot be algebraic and so it is transcendental " bu ifadelerin transandant oldugundan bahsedildi.

bu durumda cebirsel sayı ile cebirsel bagımsızlık arasında veya bu bagımsızlıgın tam olarak neye ait oldugunu anlamıs bulunmamaktayım. Vaktinizi alıyorum ama acıklayabilir misiniz.

---

Basit cikarimlar ile:
$1+e^3$ cebirsel ise $e^3$ de cebirseldir.
$e^3$ cebirsel ise $e$ de cebirseldir.

---

e sayisi Q(rasyonel sayilar )üzerinde cebirsel miydi ki ? 

---

Boylece celiskiye dusmus oluyorsun iste, yani $1+e^3$ cebirsel degildir..

---

Teşekkür ederim :) 

Ama bu teoremi biri anlatsa çok hoş olurdu. Ben öğrenciyim bu konu hic görülmedi sadece düz mantık gidildi. Biraz iyi ingilizcem olsaydı rahat anlardım şimdi bu teoremi.

Çok teşekkür ederim tekrar , kolay gelsin size. 

---

Ust duzey bir teorem kullanmaya gerek yok. Dediklerimi sadece tanimi kullanarak bile gosterebilirsin.

---

Ben bir an şöyle düşündüm iki cebirsel sayının toplamı carpımı bölümüde cebirsel ama bir cebirsel diğeri transandant bunlarla ne yapabilirim diye düşündüm ama sizin dediğiniz gibi çelişki yöntemi gelmedi işte.Tekrar sağolun ugraştırdım sizi.

Answer 1

Yukarida ki yorumlarda tartisildigi gibi,

Kabul edelim ki $1+e^3$ cebirsel. O zaman  $ e^3 $ de cebirseldir. $e^3$ cebirsel ise $e $ de cebirseldir. Celiski elde ettik cunku $e$ cebirsel degil transandanttir. Bu da bize  $1+e^3$ sayisinin da transandat oldugunu soyler..

Comments

Bu cebirsellik silsilesindeki polinomlar nasil olur, bunlari ifade edebilir miyiz yoksa sadece varligini mi soyleyebiliriz? $P(1+e^3)=0$  olacak sekilde bir rasyonel katsayili polinom var diyelim, digerleri nasil olur?