$4.x+2=14$ ifadesinde x çarpanlarını karşıya atabiliyoruz ama $a-1=a.k-3k$ ifadesinde k ları ayırmak için a çarpanlarını çekince neden olmuyor

Question

Mesela $4.x+2=14$ diyelim burda x i diğer tarafa bölü olarak atmak için +2 dede x i aramalıyız x yok o yüzden x ile çarpıp x e bölmemiz gerek yani şöyle

$4.x+\dfrac{2.x}{x}$=14 şimdi çarpım durumunda olan x leri bölü olarak çekebiliriz

x leri eşitliğin karşısına bölü olarak atınca

$4+\dfrac{2}{x}=\dfrac{14}{x}$ burdanda eşitliğin sol tarafında payda esitlersek

$\dfrac{4x+2}{x}=\dfrac{14}{x}$ burda eşitliğin sol tarafındaki paydadaki x i çarpım olarak eşitliğin sağ tarafına atarsak ifade şöyle oluyor

$4x+2=x.\dfrac{14}{x}$ eşitliğin sağ tarafındaki x ler sadelesiyor

$4x+2=14$ oluyor $4x=12$ den $x=3$

 BURDA X DOGRU CİKİYOR FAKAT DİGER DENKLEMDE AYNİ SEY NEDEN OLMUYOR HATAM NEDİR NASİL DUSUNMELİYİM

DİGER DENKLEMDE ŞÖYLE;

$a-1=a.k-3k$ da k nın yalnız kalması için a lari eşitliğin karşısına atmak için 3k dada a olması lazım ozaman a ile çarpıp a ya boleriz yani şöyle

$a-1=a.k-\dfrac{3.a.k}{a}$ yazariz

Şimdi eşitliğin sağ tarafındaki çarpım durumundaki a lari eşitliğin sol tarafına bölü olarak gonderirsek ifade şöyle olur

$\dfrac{a-1}{a}=k-\dfrac{3k}{a}$ oluyor fakat  eşitliğin sağ tarafında payda esitleyince

$\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{a.k-3k}{a}$ oluyor

Eşitliğin sağ tarafındaki paydadaki a sol tarafa çarpı olarak geçiyor ifade şöyle oluyor

$a.\dfrac{a-1}{a}=a.k-3k$ oluyor esitligin sol tarafındaki a lar sadelesiyor ve ifade ilk baştaki haline tekrar dönmüş oluyor

$a-1=a.k-3k$ oluyor ve denklem her zaman ilk haline dönüyor benim burdaki yaptığım hata ve mantık hatam nedir bu 2 ifade arasındaki fark nedir 1 ifadede doğru olupda 2 ifadede yalnis olan nedir

mantıklı bi açıklama yapabilecek bi matematikçi var mı ?

Comments

Ne yapmaya çalışıyorsunuz? İlk örneğinizde de başa döndünüz dikkat ederseniz. Sağa sola atıp, payda eşitledikten vs sonra ilk ifadeye ulaştınız ve $x$'i hesapladınız.

Amaç bilinmeyeni bulmaksa, neden bilinmeyeni içeren terimleri eşitliğini bir tarafına, geri kalanları da diğer tarafına gruplamıyorsunuz? $k\not=1$ olsun,

$$a-1=ak-3k\Rightarrow a-ak=-3k+1\Rightarrow a(1-k)=1-3k\Rightarrow a=\frac{1-3k}{1-k}.$$

---

4x + 2 = 14

normalde bunu maximum 10 saniyede yapabilirsin. Neden yazdıkların gibi yapmayı tercih ediyorsun

---

Peki Yasin hocam $a-1=a.k-3.k$ ifadesinde a lari dediğim gibi çekince yani

$a-1=a.k-\dfrac{3.a.k}{a}$ sonra eşitliğin sağ tarafından a çarpanlarını cektigimizde

$\dfrac{a-1}{a}=k-\dfrac{3k}{a}$ bu iki ifade birbirine eşit olmuş olurmu

---

1) @Captan olmaz. Çünkü $a = 0, k = 1/3$ koyduğumuzda ilk eşitlik sağlanırken ikinci eşitlik sağlanmıyor.

2) Şimdi orijinal soruna gelelim. İlk denklemden başlayalım. Önce iki tarafı da $x$ ile böldün, sonra payda eşitledin (bir şey değiştirmiyor bu), son olarak da iki tarafı da $x$ ile çarptın. Oku bakalım baştan sona: $x$ ile böldün ve sonra $x$ ile çarptın. Yani hiçbir şey yapmadın (?). Dolayısıyla ilk cümlen "Mesela $4x + 2 = 14$ diyelim" ile başlarken koyu renkli cümleden bir önceki cümle "$4x + 2  =14$ oluyor" oldu. En başa döndün.

Ikinci denklemde de aynı şeyi $a$ ile yaptın. Doğal olarak yine ayrı yere döndün.

3) Yani yaptığın şey yararsız bir şey gibi. Peki zararı var mı? Bu örnekler de zararını görmedik. Ama şu örneğe bakalım: $x + 14 = 14$. Her tarafı $x$ ile bölersek $$1 + \frac{14}x = \frac{14}x$$ elde ederiz. Burada da iki taraftan $14/x$ çıkarırsak $1 = 0$ çıkar. Bunun doğru olamayacağını biliyoruz. Dernek ki bir yerde yanlış yapmışız.

4) En azından yanlış yaptığımı farkettim bu örnekte. Ama mesela $x^2 = x$ örneğinde her iki tarafı $x$ ile bölersek $x = 1$ çıkar. Peki bu denklemin tek çözümü $x=1$ midir? Hayır. $0^2 = 0$ eşitliği de doğru olduğundan $0$ da bir çözüm olmalı. Ama yaptığımız işlemler ile sadece $1$ çözümünü elde edebildik.

5) Peki burada hata nerede? Dikkat edersen ikinci paragrafımda parantez içinde bir soru işareti var, "acaba?" anlamında. Herhangi bir $x$ sayısı için

$$\frac xx = 1$$

eşitliği sence doğru mu?

Bu soruya doğru cevap verebilirsen hatayı buldun demektir. Yanlış cevap verirsen biraz daha konuşmamız lazım.

6) Son olarak eğer ben sana iki bilinmeyenli bir denklem verirsem, burada $a$ ve $k$ bilinmeyenlerimiz, bir bilinmeyeni diğeri cinsinden yazabileceğinin (yani birini yalnız bırakabileceğinin) garantisi yok. Mesela $a^2 + a = k^2 + k $ denkleminde $a$'yı ya da $k$'yi yalnız bırakmayı dene. Olmayacak. Bazı denklemler, bazı ilişkiler maalesef böyle. Imkansız.

---

ozgür hocam sizin gibi madde madde söyleyeyim

1)hocam $a-1=a.k-3.k$ benim sorum şu hocam $(a-1=a.k-3.k)=(\dfrac{a-1}{a}=k-\dfrac{3k}{a})$ bu iki ifade birbirine eşitmidir diye soruyorum

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2)en başa döndüğümün farkındayım hocam benim merak ettiğim konu ise 1 paragraftaki sorum $(a-1=a.k-3.k)$ bu ifade 

$(\dfrac{a-1}{a}=k-\dfrac{3k}{a})$ bu ifadeyle aynı şey midir yani eşitmidir

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3)bu maddede bahsettiğiniz mantığı anlayamadım hocam

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4)bu maddeyide anlayamadım hocam

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5)$\dfrac{x}{x}=1$ ifadesinde tüm gerçel sayılar irrasyonel sayılar için geçerli olur olur çünkü x hangi sayıya eşit olursa olsun 1 çıkar özgür hocam

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6)hocam $a^2+a=k^2+k=a.(a+1)=k(k+1)=\dfrac{a.(a+1)}{k+1}=k$ böyle yalnız bırakabiliriz

---

1'e cevabım: 1 için cevap verdim zaten 1'de. $a = 0$ ve $k = 1/3$ ikilisi ilk denklemi sağlıyor ama ikinci denklemi sağlamıyor. Çünkü $0$ ile bölemezsin.

3'e cevabım: Burada senin $4x + 2 = 14$ denklemine uyguladığın yöntemi $x + 14 = 14$ denklemine uyguladım. Gördüm ki bir yerde yanlış yapıyorum, demek ki o yöntemi uygulayamazmışım. Yönteminin ilk maddesi neydi: $x$'e böl. Öyle yaptım, olmadı. Demek ki bir yerde yanlış var.

4'e cevabım: Burada da iki tarafı $x$'e böl yöntemini uyguladım. Normalde $x^2 = x$ denkleminin iki çözümü varken ($0$ ve $1$) bu yöntem bana sadece $x = 1$ verdi. Demek ki bir yerde yanlış yaptım.

5'e cevabım: Işte yukarıda yaptığım yanlışların sebebi burada. Neredeyse her $x$ için $x/x= 1$ olur ama $x=0$ ise $0/0 = 1$ olmaz. Sıfır ile bölme yapamam, o yüzden bu ifade anlamsız olur. Yukarıdaki iki örnekte de $x = 0$ durumunu görmezden geldiğim için sıkıntı yaşadım, yanlış yaptım.

---

peki özgür hocam

mesela $\dfrac{4x}{2}+2=8$ burda 4x in paydasındaki 2 karşıya geçebilmesi için +2 ninde paydasının 2 olması lazım değil mi

yani $\dfrac{4x}{2}+\dfrac{4}{2}=8$ ve $4x+4=8.2$ oda $4x+4=16$ sonra $4x=12$

$x=3$ oluyor

 

peki ifade şöyle olunca

$4.x+2=14$ de x in eşitliğin karşına geçerken neden $4.x+\dfrac{2x}{x}=14$ diyip x leri çekince $4+\dfrac{2}{x}=\dfrac{14}{x}$ neden diyemiyoruz bunun mantığı nedir peki hocam

paydadaki bi sayı karşıya çarpım olarak geçerken neden her terimin paydasında 2 veyada aynı sayı olmalı

fakat çarpım durumundaki sayı veya harf karşıya geçebilmesi için neden her terimden ortak çarpanı alamıyoruz ben burdaki mantığı anlayamıyorum hocam