$(X,\mathcal{P}(X))$ uzayı ayrılabilir uzay ise $X$ kümesi sayılabilirdir. Gösteriniz.

Question

$(X,\mathcal{P}(X))$ uzayı ayrılabilir uzay ise $X$ kümesi sayılabilirdir

Comments

Siz bu soruda ne düşündünüz/denediniz?

---

Hocam x'in alt kümesi olarak kendisini aldım.

Ve sonrasında kapanışı kendisine eşittir diyerek x kümesinin bu uzay içinde her yerde yoğun küme olduğunu gösterdim

Dolayısıyla da (x,p(x)) uzayı sayılabilir her yerde yoğun bir altkümeye sahip olduğundan ayrılabilir uzaydır dedim

sayılabilir kümenin alt kümesi de sayılabilir olduğundan x sayılabilirdir dedim

Fakat x'in bütün alt kümeleri sayılabilir olmadığından dolayı x'in alt kümesi olarak kendisini alamıyorum galiba orada kafam karıştı yardımcı olabilir misiniz acaba ?

---

Ayrılabilir uzay tanımını biliyor musun?

---

Evet hocam

''Bir topolojik uzayın sayılabilir her yerde yoğun bir alt kümesi varsa bu topolojik uzaya ayrılabilir uzay denir''

---

Bu alt küme X olmak zorunda değil. Bir alt kümesi var (sayılabilir ve yogun-her yerde demek gereksiz).

---

Alt kümeyi ne seçmem gerekiyor peki hocam veya bir şey seçmeme gerek var mı

mesela rasyonel sayılar kümesi olarak alabilir miyim

---

1. Alt kümeyi seçmiyorsun. sedece, sayılabilir ve yoğun bir alt kümenin var olduğunu  biliyorsun. ($A$ diyebilirsin.)

2. P(X) nedir. Nasıl kullanabilirsin? Yoğun ne demek yazabilir misin?

---

A X in altkümesi verilsin.

Eğer A'nın kapanışının içi boş kümeden farklı ise burada o A kümesine yoğun küme denir.

---

Yoğunluk tanımı yanlış.

P(X) polinom değil. Kapalılık, yoğunluk hangi konuda karşımıza çıkar?

---

Tanım : A, bir X uzayının alt kümesi olsun. Eğer A nın kapanışı = X ise, A, X içinde her yerde yoğundur denir.

Yoğunluk derken bundan mı bahsediyorsunuz hocam. Yani her yerde yoğun olması için A nın kapanışının X e eşit olması lazım.

---

Evet yoğunluk tanımı bu.

Bir $P(X)$ i anlaman gerekiyor bu soruyu cevaplamak  için.

---

P(X) te kuvvet kümesi değil mi hocam ?

Ama ilişkiyi nasıl kurmam gerekiyor yani ispatı nasıl ilerletmem lazım

---

llk yazdığın etiket bir ipucu veriyor mu?

---

topoloji olduğunu mu göstermem gerekiyor yani ?

---

Soruda "topoloji olduğunu göstermek" diye bir cümle yok.

Kapanış nasıl tanımlanıyor?

---

A , X in alt kümesi olsun.

Ve xEX noktası verilsin. x noktasının her komşuluğunda , A kümesinin en az bir elemanı varsa x noktasına A kümesinin kapanışı denir.

Kapanışın tanımı bu şekilde hocam.

---

Sorudaki topoljiye göre bir kümenin kapanışını bulabilir misin?

---

(X,P(X)) topolojik uzayımızda A yı X in alt kümesi olarak alalım.

A nın kapanışı = X olmaz mı hocam.

kapanışı X olduğu için de X sayılabilirdir diyebilir miyiz

---

"kapanışı olduğu için de X sayılabilirdir diyebilir miyiz " demişsin.

$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$  dir. $\mathbb{R}$ sayılabilir mi?

---

Evet haklısınız hocam R sayılabilir değildir.

A nın kapanışını X olarak buldum ve A kümesi (X, P(X))  uzayında her yerde yoğun olduğunu gösterdim. Sonrasında X uzayının da ayrılabilir bir uzay olduğunu söyledim.

X in ayrılabilir bir uzay olduğunu ifade ettikten sonra artık X e sayılabilirdir diyebilir miyim?

---

"A nın kapanışını X olarak buldum ve A kümesi (X, P(X))  uzayında her yerde yoğun olduğunu gösterdim"

Bunlar soruda verilenler.

İpucu: $P(X)$ i nerede kullandın (mı)?

"X in ayrılabilir bir uzay olduğunu ifade ettikten sonra artık X e sayılabilirdir diyebilir miyim?"

(bir önceki yorumumdaki örneğe göre yanlış olan) bu sonuca nasıl vardın?

---

Hocam ayrılabilir olduğunu gösterdiğim için X e de bu yüzden sayılabilirdir demiştim ama o ifadem de mi yanlış

P(X) güç kümesi yani bütün topolojilere göre o kısımda kullandım

Hocam bu önermede asıl göstermem gereken ne tam olarak (X, P(X)) uzayının ayrılabilir uzay olduğunu göstermem yeterli olmaz mı?

---

Doğrudan ispat şöyle yapılır:

(X,P(X)) uzayı ayrılabilir uzay olduğu

kabul edilir

 X kümesinin sayılabilir olduğu

gösterilir.

(Başka ispat yöntemleri de vardır, ama bu durumda, bence, doğrudan ispat mümkün)

Answer 1

$(X,{P}(X))$ uzayında her alt küme kapalı olduğundan, her alt kümenin kapanışı kendisine eşittir. Dolayısıyla bu uzayda yoğun küme sadece $X$ dir. Uzay ayrılabilir olduğundan dolayı da sayılabilir yoğun bir küme vardır. Demek ki bu sayılabilir yoğun küme $X$ dir. Yani $X$ sayılabilirdir.