$5\mid n^5-n$ gösterin

Question

$(k+1)^5 - (k+1)$ bunun elemanlarını açık açık yazmak gerekir herhalde tümevarımla ispat için.

5.dereceden ifadeyi açmadan nasıl yapabilirim ?

Comments

fermat in kucuk teoremini biliyor musunuz ?

---

hımm evet oda bir yol

---

Sanırım Azeri hocalar bölünebilmeyi böyle (bizimkine göre farklı sırada) yazıyor.

---

$n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)$ olur. Bunlardan en az birinin 5 ile tam bölündüğü gösterilebilir.

---

Modüler olarak $n^2+1=n^2+5n+6=(n+2)(n+3)$ eşitliği de yazılabilir.

---

Doğan hocam ben şöyle bir şeyler karaladım ama $ 5$ $|$ $n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ kabul ediyoruz.

Göstermemiz gereken de şu $ 5$ $|$ $(n+1)n(n+2)(n^2+2n+2)$ devamı için yorum getiremedim ne yapmalıyım?

---

$5\mid n$ veya $5\mid n-1$ veya $5\mid n+1$ ise $n\mid  n^5-n$ oluyor.

$5\nmid n$ ve $5\nmid n-1$ ve $5\nmid n+1$ ise $n\equiv?\mod 5$ olur?

(Bu Tümevarımla ispat için değil doğrudan ispat için. Tümevarım ile ispat için $(n+1)^5-(n+1)-(n^5-n)$ yi açabilirsin.)

---

Hocam bu yazdıklarınızı biraz daha açabilir misiniz? Kusura bakmayın anlayamadım

---

$5\nmid n$ ve $5\nmid n-1$ ve $5\nmid n+1$ ise $n \equiv ?\mod5$ olur?

---

@sametoytun Doğan hocanın ve Sercan'ın söylediklerini birazcık modüler aritmetik ile birleştirirsen

$$n^2 - n = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$$

oluyor.

---

özgür hocam yazdıkların anlamamı sağladı teşekkür ederim