$\{x^2\}-\{x\}>{2015\over 2016}$ olacak şekilde sonsuz çoklukta pozitif gerçel sayının var olduğunu gösteriniz.

Question

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$   ($\lfloor\:\rfloor$ : tam değer) olmak üzere:

1. $\{x^2\}-\{x\}>{2015\over 2016}$ olacak şekilde sonsuz çoklukta pozitif gerçel sayının var olduğunu gösteriniz.
2. Bu eşitsizliği sağlayan $1000$ den küçük pozitif gerçel sayının var olmadığını gösterin.

(Avustralya Matematik Olimpiyatlarında sorulmuş bir soru.)

Comments

Cevabı LaTeX ile yazması epey sıkıntılı :)

Answer 1

(0.0) Elimizde (hemen gözüken) güzel bir bilgi olarak $\epsilon:=\{x\}<1/2016$ bilgisi var.
(0.1) Bununla beraber fena olmayan bir sınır için $\{x^2\}>2015/2016$ kullanılabilir.
(0.2) $x=n+\epsilon$ olarak yazalım.

(1.0) $\{x^2\}=\{(n+\epsilon)^2\}=\{n^2+2n\epsilon+\epsilon^2\}=\{2n\epsilon+\epsilon^2\}$ olur.
(1.1) $\epsilon<1/2016$ bigisi ile $2n\epsilon+\epsilon^2>2015/2016$ eşitsizliğini $n$ için düzenlersek
(1.2) $n>1007$ eşitsizliğini elde ederiz.
(1.3) Bu da $x\ge n>1000$ eşitsizliğini verir.

Comments

Ben de topu Ökkeş'e atayım. İki tane çok abartı olmayan sınır küçültmesi yaptım. Tam olarak ilk hangi değer için bu eşitsizlik sağamaz buna bakılabilir.

Matematiksel olarak =2015/2016 olarak çözüme gidilebilir ama ben uğraşmak istemem. Bilgisayarda kolay bulunabilir gibi duruyor.

---

Wolpram Alpha'ya yazdım nümerik çözüm olarak verdi sonuçları.

Answer 2

(Bu benim çözümüm; sınavın cevap anahtarındaki biraz daha basit çözüm aşağıda)

$n\in\mathbb{N}^+$ olmak üzere:

$x=2015n+1008+\dfrac1{(2n+1)2016}$ olsun.

(Amacım:

$x^2=(\lfloor x\rfloor+\{x\})^2=\lfloor x\rfloor^2+2\lfloor x\rfloor \{x\}+\{x\}^2$ eşitliğinde $2\lfloor x\rfloor \{x\}=\dfrac{2015+\frac1{2n+1}}{2016}=\dfrac{(2n+1)2015+1}{(2n+1)2016}=2(2015n+1008)\dfrac{1}{(2n+1)2016}$

olmasını sağlamak)
$\{x\}=\dfrac1{(2n+1)2016}$ olur.
$\begin{align}x^2&=(2015n+1008)^2+\dfrac{2(2015n+1008)}{(2n+1)2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2\\&=\textrm{TAMSAYI}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac1{(2n+1)2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2\end{align}$
olur, ve
$\{x^2\}=\dfrac{2015}{2016}+\dfrac1{(2n+1)2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2$ olur.
$\{x^2\}-\{x\}=\dfrac{2015}{2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2>\dfrac{2015}{2016}$

(Orada verilen çözüm daha güzel: (yeterince büyük $n$ ler için) $x=n+\frac1{n+1}$ sayılarının istenen eşitsizliği sağladığı gösteriliyor)
2. Kısmı Sercan a bırakalım :-)

Comments

Aslında, eşitsizliğin bir çözümü varsa, sayılamaz sonsuz çoklukta çözüm olacağını göstermek (birinci sınıf lisans düzeyi  Analiz bilgisi ile) zor değil.

$f(x)=\{x^2\}-\{x\}$ fonksiyonu tüm $\mathbb{R}$ de tanımlı ve $X=\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb{N}\}$ kümesinin elemanları dışında süreklidir ve $\forall x\in X$ için $f(x)\leq0$ olur.

Bir $a$ sayısı için ($a<0$  da olabilir)  $f(a)>{2015\over2016}$ olsun. $a\notin X$ dir, bu nedenle, $f,\ a$ da süreklidir.

$\varepsilon=f(a)-{2015\over2016}$ alalım, $\varepsilon>0$ dır.

$f,\ a$ da sürekli olduğundan, süreklilik tanımından,  

$|x-a|<\delta$ sağlayan her $x$ için, $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ (eşdeğer olarak: $ {2015\over2016}<f(x) < {2015\over2016}+2\varepsilon$)

olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı vardır.  

$(a-\delta,a+\delta)$ aralığında sayılamaz sonsuz çoklukta gerçel sayı var olup, tümü bu eşitsizliği sağlar.

Answer 3

Reduce[{FractionalPart[x^2] - FractionalPart[x] - 2015/2016 == 0,1000 < x < 1010}, x, Reals]

$x=\frac{1}{168} \left(84+\sqrt{28648975810}\right)\lor x=\frac{1}{168} \left(84+\sqrt{28705875394}\right)$

$x=\frac{1}{168} \left(84+\sqrt{28648975810}\right)=1008.00049603162392386914214268$

Comments

İyi bir takım olduk :)