$\displaystyle\prod _{k=1}^{\infty }\sec\left( \frac {1} {2^{k-1}}\varphi \right) =\frac {2\varphi } {\sin 2\varphi }$ eşitliğini gösterin.

Question

$\displaystyle\prod _{k=1}^{\infty }\sec\left( \frac {1} {2^{k-1}}\varphi \right) =\frac {2\varphi } {\sin 2\varphi }$

Answer 1

$\sin(2x)$ ifadesini yarım açı formülü ile $n$ kere açalım.

$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$

$$\sin(2x)=4\sin\Big(\frac{x}{2}\Big)\cos\Big(\frac{x}{2}\Big)\cos(x)$$

$$\sin(2x)=8\sin\Big(\frac{x}{4}\Big)\cos\Big(\frac{x}{4}\Big)\cos\Big(\frac{x}{2}\Big)\cos(x)$$

$$\large.\\.\\.$$$$\sin(2x)=2^n\sin\bigg(\frac{x}{2^{n-1}}\bigg)\prod_{k=1}^{n}\:\cos\bigg(\frac{x}{2^{k-1}}\bigg)$$

$\lim\limits_{n\to\infty}$ durumuna bakalım.

$$\sin(2x)=2x\prod_{k=1}^\infty\:\cos\bigg(\frac{x}{2^{k-1}}\bigg)$$

Gerekli sadeleştirmeleri yaparsak sonuca ulaşabiliriz.Benzer bir soru için buraya bakılabilir.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\prod_{k=1}^\infty\:\sec\bigg(\frac{x}{2^{k-1}}\bigg)=2x\csc(2x)}}$$

Comments

aynısıymış hatta

---

benimde yorumum varmış unutmuşum hiç :)