$ x>0,y >0,\ x,y\in\mathbb{R} $ ,$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{x+y}{5}$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ değeri vardır ?

Question

$ x>0,y >0 eleman R$ ,$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{x+y}{5}$ eşitliğini sağlayan kaç (x,y)  değeri vardır ?

Comments

$x,y$ hakkında herhangi bir bilgi var mı?

---

Hatta $x>0,y>0$ olmalıdır.

---

Evet hocm dediğinz gibi

---

Eşitlik, $x=y=5^{\frac{2}{3}}$ için sağlanır.

---

Cevabın kaç olduğunu biliyor musunuz?

---

Kendim yazdim ugrasmadim o yuzden cevap yok

---

Ben bir tane bulabildim.

---

Oda guzel hic cozum olmamasindqn iyidir

Answer 1

$\sqrt{x}=a$ ve $\sqrt{y}=b$ olsun.

$x=a^2$ ve $y=b^2$ olur.

İfadeleri eşitlikte yerlerine yazalım.

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a^2}{5}+\frac{b^2}{5}$

$\frac{1}{a}-\frac{a^2}{5}=\frac{b^2}{5}-\frac{1}{b}$

$\frac{5-a^3}{a}=\frac{b^3-5}{b}$ (Bu eşitlik, $a=b=5^{1/3}$ için sağlanır.)

$a=5^{1/3}$ ise $x=5^{2/3}$

$b=5^{1/3}$ ise $y=5^{2/3}$ olur.

                                                                        

Comments

Kapalı Fonksiyon Teoreminden, çok daha fazla (sonsuz çoklukta) çözüm olmalı.

---

Soruyu soran kişiye, "bir tane bulabildim" diye söylemiştim.Cevapta  belirtmemişim.

---

Sonsuz olduğunu açıklayabilir misiniz?

Answer 2

YsnA güzel bir yöntemle denklemin bir çözümünü bulmuş. Bu çözümden yararlanarak, sonsuz çoklukta çözümün var olduğunu Kapalı Fonksiyon Teoremi (https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/Analiz_III.pdf (sayfa 93)) ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz. Biraz daha basit, ama dah fazla işlem gerektiren, bir çözüm de (bir aralıktaki her $y$ değeri için) Ara Değer Teoremini (koşullarının sağlandığım gösterip) kullanarak denklemi sağlayan bir $x$ in varlığını göstermek olurdu.

$F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{x+y}{5}$ olsun. $(\sqrt[3]{25},\sqrt[3]{25})$  olmak üzere   $F,\ (\sqrt[3]{25},\sqrt[3]{25})$ merkezli $\sqrt[3]{25}$ yarıçaplı açık dairede sürekli kısmi türevlere sahiptir. $\frac{\partial F}{\partial y}(\sqrt[3]{25},\sqrt[3]{25})=\frac{-1}{10}-\frac15\neq0$ olduğundan, Kapalı Fonksiyon Teoreminden, $\sqrt[3]{25}$ nin bir $V$ komşuluğunda tanımlı bir $f$ (türevlenebilen) fonksiyonu vardır ki $(\sqrt[3]{25},\sqrt[3]{25})$ nin bir $U$ komşuluğunda 

$$\{(x,y): F(x,y)=0\}\cap U=\{(x,f(x)):x\in V\}$$

olur. (yani bu nokta yakınında denklemin çözümü, $f$ nin grafiğidir)  

 $V$ kümesinde sonsuz çoklukta gerçel sayı olduğundan, ${F(x,y)=0}$ denklemin de sonsuz sayıda çözümü vardır.

Kapalı Fonksiyon Teoreminin (buradakinden biraz daha genel şekli ile) (Mert Çağlar tarafından hazırlanmış güzel bir kaynak) aşağıda ifadesi ve ispatı var

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/Analiz_III.pdf