(Ortaöğretim öğrencilerini düşünerek bir şeyler yazmaya çalıştım.)
Bu esasen bir tanım ve kabul sorunudur/sorusudur. Kendimce açıklamaya çalışayım.
Ahmet 28 yaşında. Annesiyle babasının ahmet beş yaşındayken ikiz çocukları olmuş. Ahmet'in annesinin Ahmet'i doğurduktan sonra tek bir doğum yaptığını bilen bir arkadaşı Ahmet'e sormuş:
- Ahmet, kardeşinin adı ne?
Ahmet de yanıt olarak "bir tane kardeşim olduğunu da nereden çıkarttın. Benim iki kardeşim var, hangisinin adını soruyorsun" demiş.
Kısaca, soruda açık olmayan bir biçimde $-1$ sayısının bir tane kökü olması gerektiği varsayımı yapılıyor, karışıklık da buradan çıkıyor. Peki soru aslında ne demek istiyor? Bir sayının, illa da $-1$ olmak zorunda olmayan bir sayının karekökü demek ne demek? Mesela $4$ sayısının karekökü ne demek? Genel olarak $\sqrt{\cdot}$ işareti ne anlama geliyor. $\sqrt{\cdot}$ işareti ile ne anlatmak istiyoruz? Bu soruların anlamı nedir ve bu soruları nasıl yanıtlayabiliriz diye düşünmek gerek.
$\sqrt{\cdot}$ işaretini bir fonksiyon olarak görmek isteyip istemediğimize karar verebiliriz.Genel olarak
$$\sqrt{A}=x$$
yazarak anlatılmak istenen
$$x^2=A$$
denklemidir ve bu denklemin $x$ için çözümüne $A$ sayısının karekökü denir. Ama elbette bu denklemin birden fazla çözümü olabilir,
$$(-3)^2=3^2=9$$
örneğinde görülebileceği gibi. Eğer $\sqrt{\cdot}$ işaretini içine pozitif reel sayılar giren bir fonksiyon tanımlamak istersek elbette ki bu denklemin bir çözümü olması lazım ve birden fazla çözümü olduğu durumlarda hangi çözümü seçeceğimizi belirlemiş olmalıyız.
Örneğin Muhammed, Muhammedin karekök fonksiyonunu, $\sqrt[Muh]{A}$, karesi $A$ yapan negatif olmayan reel sayı olsun diyerek tanımlayabilir. Ben de Şafağın karekök fonksiyonunu $\sqrt[Saf]{A}$, karesi $A$ yapan pozitif olmayan reel sayı olsun diyerek tanımlayabilirim. Salih biraz oyunbaz olduğu için Salihin karekök fonksiyonunu beşten küçük ya da eşit $A$'lar için karesi $A$ yapan pozitif olmayan reel sayı, beşten büyük $A$'ler için karesi $A$ yapan negatif olmayan reel sayı olarak tanımlayabilir:
Muhammedin karekök fonksiyonu:
$$\sqrt[Muh]{0}=0;\sqrt[Muh]{4}=+2;\sqrt[Muh]{9}=+3;$$
Şafağın karekök fonksiyonu:
$$\sqrt[Saf]{0}=0;\sqrt[Saf]{4}=-2;\sqrt[Saf]{9}=-3;$$
Salihin karekök fonksiyonu:
$$\sqrt[Sal]{0}=0;\sqrt[Sal]{4}=-2;\sqrt[Sal]{9}=+3;$$
Dikkat edilirse üçümüzün karekök fonksiyonun $0$'daki değerleri aynıÇünkü
$$x^2=0$$
denkleminin bir tane çözümü var. Bu yüzden ne benim ne Muhammedin ne de Salihin seçme şansı var. Matematikçiler arasında da $\sqrt{\cdot}$ işareti ile negatif olmayan reel sayılar üzerinde bir fonksiyon tanımlamak istendiğinde ortak kabul Muhammedin karekök fonksiyonunu kullanmaktır. Bunu yapmak bir zorunluluk değil, bir tercihtir yalnızca.
Bu $\sqrt{\cdot}$ fonksiyonunun tanım kümesini negatif reel sayılara genişletmek isteyebiliriz. Bu durumda da yukarıdaki gibi bir seçim yapmamız gerekecektir. Bunu yapmak istediğimizde ilk dikkatimizi çeken eğer $\alpha$ karmaşık sayısı
$$x^2=A$$
denkleminin bir çözümüyse $-\alpha$ karmaşık sayısı da aynı denklemin bir çözümü olduğudur. Bu demektir ki yine seçim yapmak zorundayız. Haydi yine matematikçiler gibi $\alpha,-\alpha$ karmaşık sayılarından negatif olmayanını, yani sıfırdan büyük olan olanını seçelim diyelim. Ama bir dakika, karmaşık bir sayının sıfırdan büyük olması ne demek, buna dair bir fikrimiz yok ki! Peki o zaman seçimi nasıl yapacağız? Seçim yapmak istiyoruz ama bu seçimi de kolay ve basit bir şekilde yapmak da istiyoruz. Bir önceki durumda Muhammed'in \textit{sıfırdan küçük olmasın demesi} uygulaması pek ala çok kolay bir istekti örneğin. Önce şu gözlemi yapalım:
Diyelim ki $\alpha$ ve $\beta$ karmaşık sayıları
$$x^2=-1$$
denkleminin çözümü olsunlar. Bu durumda elbette $\beta=-\alpha$ ve $\alpha=-\beta$ eşitlikleri de doğru olacaktır. Ve pozitif bir reel $r$ sayı için $\sqrt{r}$ ile matematikçilerin ortak kullandığı karekök fonksiyonunun $r$'deki görüntüsünü anlayalım. Bu durumda
$$\sqrt{r}\cdot\alpha$$
karmaşık sayısı da
$$x^2=-r$$
denkleminin bir çözümü olacaktır. Benzer biçimde $\sqrt{r}\cdot\beta$ karmaşık sayısı da
$$x^2=-r$$
denkleminin bir çözümü olacaktır. O halde Muhammedin (ve diğer matematikçilerin) $\sqrt{\cdot}$ fonksiyonunu sıfırdan küçük sayılar için de tanımlamak istersek yukarıdaki gözlemimiz sayesinde $\alpha$ ve $\beta$ karmaşık sayılarından birisini seçmemiz yeterli olacaktır. Sıfırdan büyük ya da küçük olsun seçimini yaptığımız gibi.
Şimdi, sahip olduğumuz bu iki kökten birisini adlandırmamız yeterli, diğerinin adı adlandırdığımız kökün adının eksilisi olacak. Matematikçiler bu konuda da şöyle bir anlaşma yapmış durumdalar: Bu köklerden birisinin adı $i$ olsun ve diğerine $-i$ diyelim. Ama genel olarak matematikçiler arasında pozitif reel sayılar için tanımlanmış olduğu gibi bir kök olma fonksiyonu tanımlama ihtiyacı çok değildir. Bu yüzden $-1$ sayısının karekökü nedir dendiğinde yanıt genel olarak
"$i$ ve $-i$ karmaşık sayılarıdır"
şeklindedir.
Notlar:
1- Başka bir yanıtta karmaşık sayılar üzerinde bir sıralamadan söz edemeyiz denmiş. Bu kısmen doğru bir iddia. Pekala da bir sıralamadan söz edebiliriz. Mesela
$$a+bi<c+di \Leftrightarrow a<c \lor a=c, b<d$$
biçiminde bir sıralama tanımlayabiliriz. Ve bu sıralamayı yaptıktan sonra da yukarıdaki gibi pozitif kökten söz edebiliriz. Yukarıdaki cevapta anılan şey şudur: Karmaşık sayılar üzerinde
$$\alpha_1<\beta_1, \alpha_2<\beta_2\Longrightarrow \alpha_1\alpha_2<\beta_1\beta_2$$
özelliğini sağlayacak bir sıralama yoktur.
2- Bazen $\sqrt[n]{x}$ kavramından da söz edebiliriz. Bu durumda sözü edilen
$$x^n=A$$
denkleminin çözümleridir. Burada da şöyle bir gözlem yapabiliriz: Eğer $\alpha$ bu denklemin bir köküyse
$$\alpha\times (\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n})$$
karmaşık sayıları da da $k=1,2,\cdots, n-1 $ aynı denklemin diğer şözümleridir. Benzer sorular bu durumda da sorulabilir. Ama genel olarak kök kavramı düşünüldüğünde matematikçiler şu soruları düşünmektedir.
Denklemin kaç tane kökü var. Bu köklerin kaç tanesi rasyonel, kaç tanesi irrasoynel, kaç tanesi imajiner vs. Hatta aynı soruları
$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$
denklemi için de sorup bu denklemin çözümlerini irdeleyebiliriz. Buradan da Galois teoriye giden bir yol çıkar.