Question

$f,g:R\to R$ ve $a\in R$ olmak uzere, $f$ ve $g$ fonksiyonlari $x=a$ noktasinda sürekli fonksiyonlar olsun. $f o g$ ya da $g o f$ fonksiyonlari da her zaman icin sürekli olabilir mi?

Comments

ipucu, $x=a$ noktasında türevlenebilir olduğu gösterilirse süreklilikleri ispatlanır.

---

Turevlenebilir olmayabilirler. 

---

hani sureklı olan keskin noktalarda türev alamıyoruz ya, geometrık olmadan bunu nasıl gösterebiliriz, 

şekildeki $x=-1$ noktası mesela...

---

Fonksiyonu bilmek gerekir, turev zaten geometri.

Answer 1

$f,\ a$ da sürekli ve $g,\ f(a)$ da sürekli olduğunda $g\circ f$ nin $a$ da sürekli olduğunu gösterelim:

($T(f),\ f$ nin tanım kümesini göstersin)

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin. $g,\ f(a)$ da sürekli olduğundan,

$|y-f(a)|<\gamma$ ve $y\in T(g)$ olduğunda $|g(y)-g(f(a))<\varepsilon$ (*)

olacak şekilde (en az) bir $\gamma>0$ sayısı vardır. $f,\ a$ da sürekli olduğundan,

$|x-a|<\delta$ ve $x\in T(f)$ olduğunda $|f(x)-f(a)|<\gamma$  (**)

olacak şekilde en bir $\delta>0$ sayısı vardır. Şimdi de 

$|x-a|<\delta$ ve $x\in T(g\circ f)$ olduğunda $|g(f(x))-g(f(a))|<\varepsilon$

olduğunu gösterelim.

$|x-a|<\delta\ (1)$ ve $x\in T(g\circ f)$ olsun. İkinci kabulden, $x\in T(f)\ (2)$ ve $f(x)\in T(g)\ (3)$ olur.

(1) , (3) ve (**) dan $|f(x)-f(a)|<\gamma\ (4)$ olur.

(2) (4) ve * dan ($y=f(x)$ olmak üzere)  $|g(f(x))-g(f(a))<\varepsilon$ olur.

Bu adımlar çok küçük (notasyon) değişiklikler ile metrik uzaylarda da aynı iddiayı ispatlar.

Answer 2

HATALI CEVAP

Tanım(noktasal süreklilik): $\emptyset\neq A\subseteq \mathbb R$  $f:A\to \mathbb R$ fonksiyon ve $a\in A$ olmak üzere

$$f,a\text{'da sürekli}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Dolayısıyla $f$ ve $g$ fonksiyonları bu şarta uyuyor peki $f(g(x))$   ve   $g(f(x))$ ler?

$$(f\circ g),a\text{'da sürekli}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in R)(\forall g(x)\in R)(|g(x)-a|<\delta \rightarrow |f(g(x))-f(g(a))|<\epsilon)$$

VE

$$(g\circ f),a\text{'da sürekli}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in R)(\forall f(x)\in R)(|f(x)-a|<\delta \rightarrow |g(f(x))-g(f(a))|<\epsilon)$$

olduğundan $f\circ g(x)$   ve   $g\circ f(x)$  fonksiyonları da her zaman süreklidir.

Comments

Tesekkurler, eline saglik :)

---

Bu doğru değil. $g\circ f$ ve $f\circ g$, $a$ tanımlı bile olmayabilir.

Birincide ($g\circ f$ durumu) $g$ nin $a$ da değil, $f(a)$ da sürekli olup olmadığı önemli.

İkincide ($f\circ g$ durumu) $f$ nin $a$ da değil, $g(a)$ da sürekli olup olmadığı önemli.

---

Cevap nerede?

---

hocam peki bu tanımlama şeklinden , bu soruyu ispatlayabilir veya çürütebilir miyiz? biraz ipucu verir misiniz .

---

$f(x)=\lfloor x\rfloor$ (tam değer fonksiyonu) $g(x)=x^2,\ a=\sqrt2$ olsun.

$f\circ g,\ a$ da sürekli değil (Ama $f$ ve $g$, $a$ da sürekli)

---

"$g\circ f$ ve $f\circ g$, $a$ tanımlı bile olmayabilir." bu basli basina curutmek icin bir cevap.

---

Doğan hocam tamdeğer fonksiyonunu nasıl alıyoruz ? $R $ de sürekli değilki.

---

Soru $a$ noktasinda diyor.

---

anladım, pekı nasıl ıspatlayacagız? böyle bir şey hakkında yorum yapmak olanaksız mı?

---

Ters ornek verdi Dogan hoca? yani dogru degil. 

---

Başka bir yöntem ile ,emel'in sordugu soruyu nasıl yaparız dedım zaten.

---

pardon pardn pardon , tamamdır ters ornek tum soruyu curuttu zaten. herkesın elıne saglık :)

---

Doğru olan (soru ile ilgili) bir önerme:

$f,\ a$ da sürekli ve $g,\ f(a)$ da sürekli ise $g\circ f,\ a$ da süreklidir.

(İspatlayın!)

---

$$f,a\text{'da sürekli}$$$$\Leftrightarrow$$$$\underbrace{(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)}_{p}$$$$ve$$$$g,f(a)\text{'da sürekli}$$$$\underbrace{(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-f(a)|<\delta \rightarrow |g(x)-g(f(a))|<\epsilon)}_{q}$$$$ve$$$$\underbrace{g\circ f\text{, a da süreklidir}}_{u}$$$$olduğundan$$$$\boxed{(p\wedge q) \Rightarrow u}$$

buraya kadar yaptıklarımı ben de tam kavrayamadım.
$---------------------------------$
2.yaklaşım;

$g(f(x))$  $a$ da sürekliyse,

$\lim\limits_{x \to a^+}g(f(x))=\lim\limits_{x \to a^-}g(f(x))=L$ $\Longrightarrow$  $\lim\limits_{x \to a}g(f(x))=L$ 
$$\vee$$

$\lim\limits_{x \to a}g(f(x))=L=g(f(a))$  $\Longrightarrow$   $g\circ f$ fonksiyonu $a$ da süreklidir deriz.

$g(f(x))$  $a$ da sürekliyse $g(f(a))$ var olmalı dolayısıyla $f(a)$ ,$g$ fonksiyonunda tanımlı olmalı ve  $\lim\limits_{x\to f(a)^+}g(x)=\lim\limits_{x\to f(a)^-}g(x)=L$ olarak limit bulunmalı, bu da  $g$ fonksiyonunun,$f(a)$ da sürekli olması demek ,$g$ fonksiyonunun,$f(a)$ da sürekli olması, $f(a)$ nın var olması demek $f(a)=k(k\in \mathbb R)$ olması demektir.

Biz bunun fazlasını var saymıştık , $f(a)$ nın var olması ve $g$ fonksiyonunun $f(a)$ da sürekli olması , $g\circ f$ 'in $a$ noktasındaki sürekliliğini garantilemeye yeterken $f$ $a$ da süreklidir demiştik $f$  $a$ da sürekliyse $f(a)$ tanımlı olmalı dolayısıyla önerme ispatlanmış olur.$\Box$

---

10kere sildim baştan yazdım gene tatmin olamadım ama umarım birşeyler ögrenirim :)