Öncelikle şunu belirtmek isterim, eğer diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri ile yeni tanışmış iseniz ve bu alanda çalışmaya devam edecekseniz, sorduğunuz soruların yanıtlarını ileride ilgileneceğiniz probleme ve bu problemin fiziksel doğasına göre kendiniz daha sağlıklı olarak verebilirsiniz. Ancak yine de genel bir yanıt vermek gerekirse aşağıdaki kriterlerden bahsedebilirim.
1. Yakınsaklık (Kararlılık)
Elbette ki sayısal çözümümüzün gerçek çözüme yakınsaması isteyeceğimiz ilk şeydir. Ve belki de nümerik analizin en önemli teoremlerinden biri, Lax Theorem, -kabaca- der ki, "yakınsaklık (convergence) ile kararlılık (stability) + tutarlılık (consistency) birbirini çift yönlü olarak gerektirir". Yakınsaklık analizini yapmak çoğu zaman çetrefilli bir iştir. O yüzden yakınsaklık analizi yerine çoğu zaman kararlılık ve tutarlılık analizlerini yapmak tercih edilir. Tutarlılık sürekli (continuous) denklem ile ayrık (discrete) denklem arasındaki ilişkiyi verir (bu yüzden konu dışı olması gereği bunu mevcut sayıyor ve es geçiyorum). Kararlılık ise sayısal çözüm ile ayrık denklemin kesin (exact) çözümü arasındaki ilişkiyi verir. Ve -sorunun cevabı gereği- sayısal çözümle ilgileniyor olmamızdan ötürü yakınsaklığı garantilemek adına isteyeceğimiz ilk şey sayısal çözümün kararlı bir davranışa sahip olmasıdır. Yakınsaklık ile kararlılık aynı anlama gelmemelerine rağmen başlıkta parantez içerisinde "kararlılık" yazmamın sebebi budur. Bu taktirde sorulacak sorulardan biri şüphesiz uygulayacağımız yöntemin kararlı sayısal çözümler üretip üretmemesidir? Üretiyorsa hangi koşullar altında üretiyor, üretmiyorsa bunun için bir eşik değeri mevcut mudur? Kararlı bir çözüm elde etmek için uzaysal ve zamansal ayrıklaştırma nasıl yapılmalıdır? Bu sorular her yöntem için cevaplanması gereken sorulardır ve verilecek cevaplar tercih konusunda yol göstericidir.
2. Yakınsaklık Hızı
Önerilen yöntemlerin her biri yakınsak olabilir. Bu durumda kıyaslama yapılacak bir alt kategori yöntemlerin ne kadar hızlı bir biçimde sonuca yakınsadığıdır. Şu şekilde somutlaştırabiliriz: Her iki sayısal yöntem için step size ın belli bir oranda azaltılması, hata payına hangi oranlarda etki etmektedir? Etkisi yüksek olan daha hızlı bir yakınsama hızına sahiptir ve step size ın aynı seçilmesi durumunda, -ki bu bilgisayara aynı miktarda işlem yaptırmak demektir- bize hata payı daha düşük bir sonuç üretir. Dolayısıyla aynı miktar işlem ile daha kesin bir sonuç sunan sayısal yöntem elbette tercih konusunda önceliğe sahiptir.
3. Explicit vs Implicit (Zamansal Ayrıklaştırmada)
Sorunuzda ileri fark ve geri fark yaklaşım yöntemi geçtiği için bunu da ekleme gereği duydum. İleri fark yöntemi açık (explicit) bir yöntemdir, bir diğer ifadeyle denklemde bilinmeyen olan $y_{n+1}$ açık olarak mevcuttur ve herhangi bir hesaba gerek duyulmadan elde edilir:
$$y_{n+1} = y_n + \Delta t f(t_n,y_n).$$
Geri fark yöntemi ise kapalı (implicit) bir yöntemdir ve aksine bir sonraki adıma geçmeden önce bilinmeyenin (initial value problem lar için örneğin root finding ile veya initial-boundary value problem lar için matrix sistem ile) çözdürülmesi gerekir, zira $y_{n+1}$'i tek bırakmak çoğu zaman mümkün olmayabilir:
$$y_{n+1} = y_n + \Delta t f(t_{n+1},y_{n+1}).$$
İkincisi şüphesiz bilgisayar açısından daha zahmetli ve dolayısıyla daha fazla zaman isteyen bir yöntemdir. Bu yüzden ileri fark yöntemi, geri fark yöntemine nazaran kodlaması daha kolay ve çalışması daha hızlıdır. Fakat öte yandan geri farkın, stiff problemlarda (yani kabaca çözümün çok ani değiştiği problemlerde) çok daha verimli convergence rate ler elde etmek gibi, yer yer koşulsuz kararlı çözümler sunmak gibi tartışılmaz bir takım avantajları da vardır ve buna karşılık ileri fark metodu yalnızca belli başlı uzaysal ve zamansal step size lar için kararlı çözümler üretir. Dolayısıyla kararlı davranışı bir koşula dayanmaktadır.
Başta belirttiğim gibi, bunları kendi probleminizin doğası çerçevesinde değerlendirip uygun olanı seçmek ya da onun üzerinden bir takım değişikliklere gitmek sizin tercihinizdir.
4. Problemin Fiziksel Doğası.
Beklentisi içerisinde olacağımız bir diğer şey ise sayısal çözümün davranışının, kesin çözüm ile uyumlu olması olabilir. Ne demektir bu?
Örnek. Isı-yayılım denklemi alalım. Bu denklemin bir özelliği, kabaca konuşmak gerekirse verilen bir başlangıç koşulu üzerinde zaman içerisinde sönümlendirici etkiye sahip olmasıdır. Dolayısıyla önereceğimiz sayısal yöntemin de benzer etkiye sahip olmasını bekleriz. Hatta daha detaylı çalışma ile sayısal çözümümüzün gereğinden çok (overdamped) ya da gereğinden az (underdamped) sönümlenme etkisine sahip olduğunu analiz edebiliriz. Bunlar cevaplanması gereken sorulardır ve yöntemden yönteme farklılık gösterir.
Örnek. Dalga denklemini ele alalım. Dalga bilgi taşır ve bu taşınım belli bir hızda gerçekleşir. Dolayısıyla önereceğimiz sayısal yöntemin dalga hızına olan etkisinin, olması gerekenden ne biraz fazla ne de biraz az olması isteyeceğimiz bir şeydir. Elbette sayısal yöntemler kullanarak kesin değeri yakalamamız mümkün değildir ancak hedef, kesin değerdir ve buna uygun optimal sonuç veren yöntemleri tercih eder, ya da söz konusu yöntemler üzerinde optimal değer üretecek modfikasyonlar yaparız.
Örnek. Bir taşınım-yayılım problemi ele alalım (Convection-Diffusion). Burada bir akış (flow) söz konusudur ve bu akışın bir yönü mevcuttur. Dolayısıyla bilgiyi akış yönünden almak (örneğin 1d bir problemde akış soldan sağa doğru ise geri fark uygulamak) uzaysal ayrıklaştırmada merkezi farka göre -teferruatlardan arınarak kabaca söylüyorum- muhtemel salınımlara yer vermeyen sayısal çözümler üretir (nedeni başlı başına bir araştırma alanıdır).
Örnekler başta belirttiğim gibi ilgilenilen problemin doğası gereği çoğaltılabilir.
Sonuç olarak bu soruya genel bir cevap vermek mümkün değil. İlgilendiğiniz probleme göre yöntemin geçerli olup olmaması hususunda fikir belirten testler mevcut. Ancak bunları bir önem sırasına koyacak olursak şüphesiz ilk sırayı yakınsaklık analizi ve yakınsaklık oranı alacaktır. Bunun ardından yöntemin yakınsaklığını garantilemek adına size bir kısıt koyup koymaması, sayısal çözümün davranışı ile gerçek çözümün davranışı arasında tutarlı bir ilişki olup olmaması, yöntemin bilgisayar hesaplaması açısından verimli olup olmaması dikkate alınacak diğer kriterler olabilir...