Mantiksal konusma ve sonucunda elde edilen bilgi

Question

$A$ ve $B$ adli iki kisi, mantiksal olarak iyi duzeyde olsun. Bunlara $1<x<y$  ve $x+y<100$ olacak sekilde $A$ kisisine $x+y$ ve $B$ kisisine $xy$ sayilari veriliyor ($x,y$ tam sayi). Sonra aralarinda su konusma geciyor:

$B$: Ben bu iki sayiyi bulamam.
$A$: Biliyordum.
$B$: O zaman su an bu iki sayiyi bulabilirim.
$A$: Ben de.

O halde $x$ ve $y$ nedir?

Ek olarak: cevabin tek oldugunu ve neden o sayilar oldugunu da soylemek gerekir.

Comments

$x+y$ toplamının alabileceği değerlerin sayısını $24$'e indirdim fakat devamı gelmiyor.

---

nasil indiriliyor?

---

Gerçi çok emin değilim ama sanırım toplamın iki asalın toplamı şeklinde yazılamaması gerekiyor.

---

x.y<100 koşulu var mı?

---

Evet, ayrica (aslinda bu bilgiye gerek duymamiza gerek olmayabilir: ) Goldbach conjecture'a gore her cift sayi iki asalin toplami seklinde yazilabilir. (henuz ispatlanmadi bildigim kadari ile fakat bilgisayar yardimi ile buyuk sayilar icin ters ornek bulunamadi, zaten 100 de yeterince kucuk). Bu nedenle toplam cift de olamaz.

$x.y<2500$ gibi bir sey, toplamdan gelen bir sinir bu da, carpim icin bir sinir yok. Eger verilirse son adimda A'ya daha cok secenek kalir ve bilemez, yani sinir olmamasi daha iyi.

Answer 1

1-)B, x ve y yi tahmin edemiyorsa en az biri asal sayı değil demektir. 

2-) A, x+y bilgisinden x ve y nin ikisinin birden asal sayı olmadığından eminse x+y çift sayıdir çünkü öyle olsaydi denildiği gibi Goldbach sanisindan her çift sayı iki asalin toplamı şeklinde yazıldığından "biliyordum" diyemezdi. Yanı sayıların biri tek biri çift. (x=2 ve y=asal sayi durumu hariç)

3-) B nin, A nin bu cevabı üzerine sayıları bulabilmesinin sebebi sayilarin ikisinin birden çift olmadığıni öğrenmesidir. Yanı B, sayılarin ikisinden birinin tek birinin de cift oldugunu öğrendiğinde ihtimali bire dusmustur. Bu durumun olusmasi için xy=2^k*t (k 1den büyük bir tamsayı ve t 2 den farkli bir asal sayi) formunda olması lazım ki cift-tek olayını öğrenince cevabı hemen bulabilsin.

4-) A da B nin cevabı üzerine  artık 2^k+t formunda tek bir ihtimal bulacagindan cevabı biliyordur. Burada deneme yanılma yöntemiyle tek ihtimalin x=4 ve y=13 olduğunu düşünüyorum çünkü x+y=17 olacak şekilde başka hiçbir x ve y o formda değil.

Comments

 

 
 

sayinin biri 2 nin kuvvetleri iken digeri asal olan durumlar..

---

 Bu ihtimallerin çoğu olamaz örneğin 3+16=19 dur fakat 19=2+17 şeklinde yani iki asalın toplamı şeklinde yazılabildiğinden A 'biliyordum' diyemezdi. O yüzden bir kere toplamları 2 ve bir asal sayının toplamı şeklinde yazılanlar elenir. Ayrıca örneğin sayılarımızı 4 ve 17 alırsak 4+17=21 iki asalın toplamı şeklinde yazılamaz ama A ya x+y olarak 21 verildiğinde 2 nin kuvveti ile bir asal sayının toplamı olarak 3 ihtimal vardır: (4,17), (8,13) ve (16,5). Böyle bir durumda A, konuşmanın sonunda 'Ben de' diyemezdi. Bu sayılar arasında olabilecek 5 ihtimal buldum: (4,13), (16,13), (4, 37), (16,37) ve (8,89). Bunları tek ihtimale düşüremedim maalesef.