farklı topolojilerde sürekliliğinin değişmesi

Question

f fonksiyonu x$\leq$1 için x ve  x>1 için x+1 olsun. Burada fonksiyon 1 noktasında sürekli değil. Fakat topolojileri (a,b] aralıklarını açık kabül eden topoloji olarak alırsak  sürekli oluyor. Bu iki farktan anlamam tam olarak nedir? Tanım olarak kabül edince sorun olmaz fakat tanımsal olarak bu ufak farklılıktan neyi çıkartmalıyım, bunu düşünüyorum. Teşekkürler.

Comments

İkinci topolojide $(a, b-\frac{1}{n}]$ kümelerini düşün. Bunlar açıksa birleşimleri de açık olmalı, demek ki $(a,b)$ de ikinci aralıkta açık olmalı. Yani, ikinci topoloji birinci topolojiyi bir anlamda "içeriyor", ondan daha fazla açık kümeye sahip.

Bu da şu demek oluyor: ilk topolojiye göre sürekli olan her fonksiyon, ikinciye göre de sürekli olur. Ama ikinciye göre sürekli olup, ilkine göre sürekli olmayan fonksiyonlar da bulunabilir.

---

Tanımsal olarak baktığımda sorun yaşamıyorum. Tanımlara göre de farklı olması doğal. Alışılmış olanı düşündüğümüzde elimizi kadırmadan çizme gibi bir durum var fakat burada fonksiyonu çizdiğimizde elimizi kaldırmalıyız. Sürekliliğin tanımı el kaldırmama olmasa da bu soruyu düşünüyorum. Neden bu sürekli oluyor diye. Neden buna sürekli diyoruz diye. Galiba kaybetmememiz gereken özellik bu degil. Açık ters görüntünün açık olmasının güzelligine yogunlaşmalıyım?

---

Beş sene önce olsa "Aslına bakarsan çok mantıklı bir tanım" diyip neden böyle olması gerektiğini, neden bu tanımın doğal olduğunu anlatmaya çalışırdım. Şu an çok emin değilim.

---

Reel sayılar üzerinde neden başka bir topoloji isteyesin ben de bilmiyorum açıkçası. Çok özel durumlar haricisinde hiçbir kullanımını da yararını da görmedim. Ama bariz bir şekilde sürekli olmaması gerektiğini düşündüğün bir fonksiyon, sürekli oluyorsa büyük ihtimalle gereksiz bir topoloji örneğiyle uğraşıyorsun demektir.

Elinle çizmek konusuna gelince de... Daha büyük boyutlara çıktığında çizim neredeyse imkansız hale geliyor. Ama yine de kafanda canlandırabiliyor olman lazım sürekliliği bir şekilde.