Teorem: $\forall x\in\mathbb R$ , $n\le x<n+1$ eşitsizliklerini sağlayan bir ve biricik $n\in\mathbb Z$ vardır.
Kanıt : $x\le 0$ için;
$A=\{a\in\mathbb N :a\le x\}$ olsun, $0\in A$ ve görülüyor ki $A$ kümesi $x$ tarafından üstten sınırlı.Teoremler havuzundaki bir teoreme göre bu kümenin bir en küçük üstsınırı olmak zorunda$^{s1}$.
Bu en küçük üstsınırımıza $n$ dersek,
$n\le x <n+1$ olur.
Böyle bir üstsınırın tekliğini(biricikliğini) kanıtlayalım.
En küçük üst sınırı seçtiğimizi sanıyoruz ,ama velhasıl kelam $n$'den daha küçük bir $m$ doğal sayısı en küçük üst sınırsa ya?
O zaman
$n>m$ ve bunlar dogal sayı oldugundan $n\ge m+1$ olur ;
Tanıma göre;
$n+1>x\ge n$
$m+1>x\ge m$
ve
$n+1>x\ge n \ge m+1 > x$ olur ,çelişki; demekki $n$ biricikmiş ve $x$'in tam kısmıymış, başka hangi metodlarla ispatlayabiliriz?