Metod 1'in İpucu:
$x^{1/x}$ fonksiyonunun maximum noktası bulunup, $1/\pi$ ve $1/2$ için fonksiyonun nasıl bir rota izlediği analiz edilebilinir.
Metod 2'nin İpucu :
$\dfrac{\ln{\pi}}{\pi}>\dfrac{\ln{2}}{2}$ bu lemma ispatlandıktan sonra küçük bir oynama yaparak ve $\dfrac{ln2}{2}=\dfrac{ln4}{4}$ durumu kullanılarak ispatlanır.
Metod 3(sıkıcı metod):
$9>2^\pi$ olduğunu ispatlarsak iş çözülür çünki;
$\pi^2>3^2=9$ olur.
Sıkıcı dedim çünki şunu bilmeliyiz;
$\dfrac{9}{8}=1.125$
$2^{0.16}=1,1172871380722199666109906352025$
$\dfrac{9}{8}>2^{0.16}$ ve buradan $\pi^2>3^2>2^{3.16}>2^\pi$
ve ispatlanır.$\Box$
Metod 4:
$3<\pi<\dfrac{22}{7}$ olduğunu biliyoruz.
Ve şunları bilmeliyiz;
$2^{11}=2048<2187=3^7\quad\to\quad 2^{\left(\frac{22}{7}\right)}<3^2$
Dolayısıyla sonuçları birleştirirsek;
$\boxed{2^3<2^\pi<2^{\left(\frac{22}{7}\right)}<3^2<\pi^2}$
$\boxed{\boxed{2^\pi<\pi^2}}$
