Serinin yakınsak olduğunu ispatlayınız

Question

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...$

serisinin yakınsadığını gösterelim.

(İlk terimden sonra, işaretleri iki negatif, iki pozitif, iki negatif, iki pozitif şeklinde gider.)

Kaç farklı yolla ispatlanabilir, ben ispatladım ama yönlendirme olmasın diye şimdilik buraya yazmıyorum.

Ayrıca, sadece yakınsak olup olmadığı sorulmuş. Peki yakınsadığı değeri nasıl bulabilirdik?

Comments

"Alterne Seri Testi - Ornek 1".

---

bu soruda  genel halini sormustum ben yardımcı olabilir.

---

@ra senin sorun daha genel gibi, doğru ama cevap yok sanki :)

@Sercan hocam arada YM reklamı mı var ben mi bir noktayı kaçırdım :)

---

Reklam yok kardes. Direkt yaparim yapacagim zaman :) Daha eklemedim ben bunlari.

Demek istedigim su: Bu neredeyse her kalkulus kitabinda, Alterne seri testi kisminda ilk ornek olarak verilir. ilk olmasa da verilir.

---

Thomas'ın alıştırma bölümünde var. Lakin 1. soru değil :)

---

Çözümü de vermemiş... Yakup alternatif çözüm öğrenmesin mi :(

---

Testin ne oldugunu bilince uygulayabilirsin. Bi teste bak ne diyor. 

---

Ben soruyu yanlis gormussum bu arada, fakat yine de alternatin seri testi "dikkatli" bir bicimde uygulanabilir.

Dikkatli dedigim: Asagidaki cevapta verilen toplam $$s_n=\sum_{k=1}^na_k$$ olmak uzere $$\lim_{n\to \infty} s_{2n+1}$$ degerine esit. Fakt bizden istenen $$\lim_{n \to \infty} s_n$$ limiti. Simdi bu ikisinin iliskisini kurabilsen bu yontem cevabi verir.

Answer 1

Sercan hocamında söylediği gibi her kitapta bulabir ve inceleyebilirsin Şu şekildede görebilirsin.

$1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}) +. . . .$

$1+\sum\limits^{\infty}_{k=1} (-1)^k \displaystyle  (\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1})$

$1+\sum\limits^{\infty}_{k=1} (-1)^k(\frac{1}{2k})+1+\sum\limits^{\infty}_{n=1} (-1)^k(\frac{1}{2k+1})$

Buradan şunu görebilirsin Alterne testi ya da Leibnitz Testine göre toplamlar ayrı ayrı yakınsar .Ayrıca yakınsak serılerın toplamıda yakınsaktır.Sonuç olarak yakınsar.

Alterne serilerinde yakınsama koşullarına bakarsan anlarsın demek istediklerimi.

Comments

Bu şekilde (terimleri parantezler kullanarak gruplayıp) çözmek çok tehlikeli, çok dikkatli olmak gerekir. 

Dikkatli olunmazsa, bu yöntemle, $\sum (-1)^n$ serisi de yakınsak olduğu da "ispatlanabilir".

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n=(-1+1)+(-1+1)+\cdots=0+0+0+\cdots=0$ olur.

(Ama, bu cevapta, paranteze alınan sayılar aynı işaretli olduğu için, sorun yok)

Önce, serinin yakınsaklığını başka bir yöntemle gösterdikten sonra, toplamını böyle bulmakta bir sakınca yok.

---

Liebnitz testine çok kısa baktım. İnşallah daha geniş bir zamanda daha detaylı bakarım. Güzel cevabın için çok teşekkürler @ra. Doğan hocam tavsiyeniz için teşekkür ederim. Muhtemelen yakın zamanda beni yanlış yapmaktan kurtaracak :)

Answer 2

Bir de Dirichlet testi kullanarak gösterilebilir.

Dirichlet Testi: 

$\sum a_n$ serisinin kısmi toplamlar dizisi sınırlı ve $(b_n)$ azalan ve $\lim b_n=0$ ise $\sum a_nb_n$ serisi yakınsaktır.

$a_n=1,-1,-1,1,1,-1,\ldots,\ b_n=\frac1n$ alınırsa koşullar sağlanıyor ve $\sum a_nb_n$ bize verilen seri oluyor.

Comments

Çok sağolun hocam. Yukarıda @ra'nın cevabına yazdığınız yorumdan $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n$ serisinin ıraksak olduğu kanaatine varmıştım. Burada sınırlı dediğinize göre yakınsak, ama yakınsadığı değer $0$ değil, doğru muyum?

---

Kismi toplamlari alirsan, 1,0,-1,0,1,0,-1,... olarak gider. Bu degerlerin kumesi de sinirli. 

---

@soneletrikbukucu $\sum (-1)^n$ ıraksak, $\sum (-1)^n\frac1n$ yakınsak.

Answer 3

Sanırım şu ispat da yapılabilir. Matematikselliği tartışılır ama...

Öncelikle elimizdeki seriyi

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4n+4}+\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+2}-\frac{1}{4n+3}\right)$

Olarak yazalım. Bu serinin yakınsak olduğunu serinin

$\displaystyle \lim_{t\to\infty} \int_1^t \left(\frac{1}{4u+4}+\frac{1}{4u+1}-\frac{1}{4u+2}-\frac{1}{4u+3}\right) du$

integralinin altında olduğunu düşünerek, integralin yakınsaklığından bulabiliriz. İntegralin değeri

$\displaystyle \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} \ln\left|\frac{(4u+4)(4u+1)}{(4u+2)(4u+3)}\right|\bigg|^t_1=\frac{1}{4}\left(\ln\frac{2}{3}-\ln1\right)=\frac{1}{4}\ln\frac{2}{3}$

değerine yakınsadığından altındaki seri de yakınsak olacaktır. Böylece serinin yakınsaklığı ispatlanır!?

Not: Sanırım Doğan hocanın "tehlikeli" diyerek bizi uyarmasına karşın tehlikeli olan her şeyi yaptığım için Doğan hoca bana epey kızacak :(

Comments

integral testi icin on sartlar saglandi mi?
Bu toplam $\lim s_{4n}$ sonucunu veriyor. $4n+1,4n+2,4n+3$ icin de ayni oldugunu gosterirsen, tam olur. 

Yakinsak oldugunu degil ama, ayni degere gittigini gosterirsen. Bunu @ra'nin cevabindaki toplam icin de ifade etmek gerekli. 

---

İntegral testi için fonksiyonun integrallenebilir olması dışında hangi önkoşullar var?

Bir de "$4n+1$, $4n+2$, $4n+3$ için de aynı olduğunu ispatlamak"tan kasıt ne?

---

Sadece bir alt dizisinin yakisnadigini gostermissin. 

Pozitiflik ve azalanlik sarti var, integral testi icin de.

---

Artan olsa ıraksak olmuyor mu zaten? Bir de neden negatif ve artan olmasın?

---

azalan olmayan her fonksiyon artan mi? $\sin x$ vs de var

---

Doğrudur. Nedense kafamda artan bir fonksiyon kurdum, azalan olmayan değil...