Bu integrali bulmak için farklı çözüm yöntemlerini tartışalım.
Sercan hocanın çözümü:
$$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x\cdot\sin x}{1+\cos^{2}x}dx $$ integrali icin $u=\pi -x$ donusumu uygularsak integralimiz $$\displaystyle \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi-u) \cdot\sin u}{1+\cos^{2}u}(-du)=-\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{u\cdot\sin u}{1+\cos^{2}u}du+\pi \displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos^{2}u}du $$ olur. Bu da bize integralimizin($I=-I+J \Rightarrow 2I=J \Rightarrow I=J/2$)$$\frac{\pi}2 \displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^{2}x}dx $$ integraline esit oldugunu verir. $t=-\cos x$ donusumunu uygularsak, integralimiz $$\frac{\pi}2 \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt=\pi\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt=\pi\left[arctan(t)\right]_{t=0}^{t=1}\\=\pi\left(\arctan(1)-\arctan(0)\right)=\dfrac{\pi^2}{4}$$ olur.
Benim denemem:
$(arccot\ u)'=-\frac{u'}{1+u^2}$ ve $\cos x=-\sin x$ olduğundan yukarıdaki integrali
$$\displaystyle \int \limits^\pi_0 x(arccot(\cos x))'dx$$
olarak yazabiliriz.
$$\displaystyle \int \limits^\pi_0 x(arccot(\cos x))'dx+\int \limits^\pi_0 arccot(\cos x)dx-\int \limits^\pi_0 arccot(\cos x)dx$$
şeklinde yazıp $\displaystyle \int \limits^\pi_0 arccot(\cos x)dx$ integralinde takıldım.