Soru 1:
$(x_n)_n$ yakınsak ise $(|x_n|)_n$ yakınsak mıdır?
Soru 2:
$\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|=\left|\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right|$
Bu eşitlik doğru mudur?
Soru 1 için denemem:
$(x_n)_n$ yakınsak ise $|x_n-L|<\epsilon$ için $\quad n\ge N\in\mathbb N$ olacak bir $N$ buluruz.
$(|x_n|)_n$ yakınsak mıdır?
Yakınsak olması için aşşağıdaki önerme sağlanmalı;
$||x_n|-|L||<\epsilon$ için $\quad n\ge N\in\mathbb N$ olacak bir $N$ bulmalıyız ki $(x_n)_n$ için zaten bulunmuş, şöyle ki;
$||x_n|-|L||\le |x_n-L| <\epsilon$ için $\quad n\ge N\in\mathbb N$ bulunurmuş, $\Box$
"http://matkafasi.com/99514"
Soru 2 için denemem:
$\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|$ için;
$||x_n|-|L||<\epsilon$ için bir $n\ge N$ dogal sayısı bulmalıyız, çünki limiti $|L|$ diye bekliyorum.
$-------------------$
$\left|\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right|$ için;
$|x_n-|L||<\epsilon$ için bir $n\ge N$ dogal sayısı bulmalıyız, çünki limiti $|L|$ diye bekliyorum.
Şu eşitlik doğru olduğundan;
$|x_n-|L||<||x_n|-|L||<|x_n-L|$
ve $|x_n-L|<\epsilon$ için $n\ge N$ dogal sayısı bulabildigimden;
$|x_n-|L||<||x_n|-|L||<|x_n-L|<\epsilon$ için $n\ge N$ dogal sayısı sağlanıyormuş demekki. $\Box$