Question

$f(x)=-3x^2+(m-2)x-2m+4$ fonksiyonu $[2,\infty)$ aralığında birebir fonksiyon olduğuna göre,m nin en büyük tam sayı değeri ?

@:$\Delta$ <0 için inceledim,kök yoksa hepsi farklı yere gider bakımından ^^.cevaba ulaşamadım

cevap:14

Comments

Birebir fonksiyon ne demek? Birebir fonksiyonun tanımından yola çıkıp $[2,\infty)$ aralığında bu fonksiyon için nasıl bir yorum yapabiliriz?

---

Tepe noktasinin apsisinden gecen dogruya simetri ekseni denir ve bu eksene esit uzakliktaki noktalarin goruntuleri birbirine esittir. 

O halde, fonksiyonun bu aralikta birebir olmasi ile bu ozellik arasindaki iliskiden yola cikabilirsin.

Answer 1

Parabolümüz bu şekilde olsun.Birebir olması için, bir $y$ değerinin yalnız bir $x$ değeri ile eşleşmesi demektir.Mesela bu fonksiyon, $[1,3]$ aralığında bire bir değildir.Çünkü aynı $y$ değerine giden iki farklı $x$ değeri vardır.

Fakat simetri eksenine bakarsan, $[2,+\infty)$ ve $(-\infty,2]$ aralıklarında bu parabolün her $y$ değerinin yalnız bir $x$ değeri ile eşleştiğini dolayısı ile bire bir olduğunu görebilirsin.

Buradaki $2$ değeri, parabolün tepe noktasının apsisidir ve kökler toplamının yarısı ile bulunur.

$\frac{m-2}{6}=2$,

$m=14$ olacaktır.

Comments

güzel çözüm,sağolun 

---

Kolay gelsin.

---

Bu fonksiyon her $a\geq 2$  reel sayı için   $[a,\infty)$ de birebirdir. Örneğin $[10,\infty),[50,\infty),...$ aralıklarında birebirdir. Aynı şekilde her $a\leq 2$ için $(\infty,a]$ aralığında birebirdir. Neden $m$ 'nin en büyük değeri sorulmuş acaba? Ya da bulunana $14$ değeri $m$'nin gerçekten en büyük değeri mi?

---

Mehmet hocam,ama bize simetri ekseninin $2$ olduğu bilgisi verilmiş.Sizin dediğiniz şekilde yaparsak simetri ekseni $2$'den farklı çıkmaz mı?

---

Benim söylemek istediğim bu fonksiyon $(-\infty,2]$ ve $[2,\infty)$ aralıklarının her alt aralığında birebirdir. Bu sebeple $m$ en büyük değeri yada en küçük değeri nasıl bulunabilir ki?

---

$m$'in değeri parabolün tepe noktasını belirliyor. Eğer $m$ biraz daha büyük olsaydı, tepe noktası da daha büyük olacaktı. Dolayısıyla, $[2, \infty)$ aralığında birebirlik olmayacaktı.

---

Belirtilen aralikta birebirligi sağlayan tek m degeri yok mudur? Soruda niye en büyük diye bir ibare var? Mehmet hocam tam olarak bunu mu kastediyorsunuz yoksa farkli bir sey mi algılayamadım.

---

Tek bir değer varsa o zaten en büyüğü ve aynı zamanda en küçüğüdür.Çünkü alabileceği tek değer odur.

---

@hulya hocam kast ettiğim şu:

Bize fonksiyonun $[2,\infty)$ de değilde $[10,\infty)$ de birebir olduğu verilseydi $\frac{m-3}{6}=10$ dan $m=63$, $[200,\infty)$ olarak verilseydi $m=1203$  ya da $[-\infty,-5]$ verilseydi $m=-27$ olacaktı. Yani $m$ nin en büyük ya da en küçük olması keyfi olarak verilen bir aralığa göre değişiyor. Hangisini almalıyız? 

---

@Mehmet Toktaş Soruda bize verilen bilgi "$[2, \infty)$ aralığında birebirdir ama $a<2$ için $[a, \infty)$ aralığında birebir değildir" değil. Sadece "$[2, \infty)$ aralığında birebir olduğu" bilgisi verilmiş. Eğer $m$ değerini daha küçük seçersek, verilen aralıkta hala birebir olur fonksiyon (tepe noktası sola kayar). Fakat eğer $m$ değerini $2$'den büyük seçersek, artık elimizdeki fonksiyon birebir olmaz.

---

Eğer mm değerini daha küçük seçersek verilen aralıkta hala birebir olur fonksiyon (tepe noktası sola kayar). Fakat eğer mm değerini 22'den büyük seçersek artık elimizdeki fonksiyon birebir olmaz.

Türkçem o kadar iyi değil ama cümlede sorun var gibi .d

---

$[2, \infty)$ aralığı zaten birebirliği sağlayan en geniş aralıkmış.Bu yüzden 2 yi baz alıp çözüyoruz.Neden keyfi farklı aralıklar düşünüyosunuz. Zaten soruda verilen aralık değişirse fonksiyon değişir.