$e$ sayısının rasyonel kuvvetleri

Question

$$p\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\Rightarrow e^p\notin\mathbb{Q}$$ önermesi doğru mudur?

Comments

Onermenin karsit tersinde $p=lnq$  secersek dogru olur.

---

Ben bunu baska bir soruda ispatlamistim. Soru farkliydi lakin.

---

http://matkafasi.com/7028/irrasyonel-uzeri-irrasyonel#a7029

---

cevap yardımcı oldu mu hocam :) 

---

Anıl bu ara çok yoğun ve yorgunum. Kafamın sakin olduğu bir ara cevabını inceleyeceğim.

Answer 1

Nereden geldigini tam bilmediğim ama merak ettiğim şu fonksiyonu tanımlayalım;

$\boxed{f_n(x)=\dfrac{x^n(1-x)^n}{n!}}$ ve $n\in\mathbb N$ olsun. Bundan dolayı aşağıdaki özelikler görülür;

$1:$

$\forall x\in(0,1)$  için  $0<f_n(x)<\dfrac1{n!}$

$2:$

$k>2n$  için  $f^{(k)}(x)=0$  ve  $0\le k < n$ için $f^{(k)}_n(x)=0$

$3:$

$k\ge 0$  için $f^{(k)}(0)$   ve  $f^{(k)}(1)$   tam sayılar elemanıdır.

Teorem: 

$s\in\mathbb Q\setminus \{0\},\quad e^s$  irrasyoneldir.

İspat:

Her $s\in\mathbb N$ için $e^s$'nin irrasyonel olduğunu göstermek yeterlidir.Çünkü $s,h\in\mathbb N$ olurken $rh=s$ diye tanımlarsak $e^s=(e^r)^h$'de rasyonel olur.

$e^s$ rasyonel varsayıp olmayana erelim;

$b\neq0,a\in\mathbb N \quad e^s=\dfrac ab$  olsun, 

ve daha sonra kullanacağımızdan  $\dfrac{as^{2n+1}}{n!}<1$  durumunu sağlayan bir $n\in\mathbb N$ seçelim.

$\boxed{f_n(x)=\dfrac{x^n(1-x)^n}{n!}}$ olduğundan;

$F(x)=s^{2n}f_n(x)-s^{2n-1}f'_n(x)+s^{2n-2}f''_n(x)+...+f^{(2n)}_n(x)+0+0+...$

Yukarıdaki $2.$  şarttan dolayı bu son toplamı şöyle sonsuz şekilde işimize geliceği yazarız;

$F(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty s^{2n-k}f^{(k)}_n(x)$,

ve

$F(x)$'in türevini alıp biraz oynayalım aşşağıdaki eşitliği bulalım;

$-\dfrac{F'(x)}{s}=-s^{2n-1}f'_n(x)+s^{2n-2}f''_n(x)-s^{2n-3}f'''_n(x)+...-s^{-1}f^{(2n+1)}_n(x)+...+..$

Bu eşitlik ile $F(x)$ beraber düşünülürse;

$F'(x)=-sF(x)+s^{2n+1}f_n(x)$   olduğu görülür;

buradan da;

$\dfrac{d}{dx}(e^{sx}F(x))=se^{sx}F(x)+e^{sx}F'(x)$  türevi için yukardaki eşitlik gereği ve integral-türev ilişkisi nedeni ile;

$\dfrac{d}{dx}(e^{sx}F(x))=se^{sx}F(x)+e^{sx}F'(x)=s^{2n+1}e^{sx}f_n(x)$

ve

$bU=\displaystyle\int_0^1 s^{2n+1}e^{sx}dx=(e^{sx}F(x))\displaystyle |^{^{1}}_{_{0}}=a F(1)-bF(0)$  gelir.

$\dfrac ab$ rasyonel bir sayı oldugundan, tam sayı olmasını garanti etmesi için $bU=N$ alalım, yani, bir tam sayıyı.

$x\in(0,1)$ aralığında $e^s> e^{sx}$ olacağından ve  en baştaki 1. şıktan dolayı $f_x(x)<\dfrac1{n!}$ olacağından;

$x\in(0,1)$  için  $\dfrac{e^{s}}{n!}>e^{sx}f_n(x)$  olur ve  $\dfrac{s^{2n+1}e^{s}}{n!}>s^{2n+1}e^{sx}f_n(x)$  olur.

İntegralin baskınlık teoremine göre integral alırsam eşitlik korunur;

$N=bU=b\displaystyle\int_0^1s^{2n+1}e^{sx}f_n(x)dx<bs^{2n+1}e^s\dfrac1{n!}$

$\dfrac{as^{2n+1}}{n!}=$   olduğundan ve $\dfrac{as^{2n+1}}{n!}<1$   olarak seçtiğimden ve $1.$ şıktan dolayı;

$0<N=bU=b\displaystyle\int_0^1s^{2n+1}e^{sx}f_n(x)dx<bs^{2n+1}e^s\dfrac1{n!}=\dfrac{as^{2n+1}}{n!}<1$  olur.

Yalnız bu bir çelişkidir çünki, $0$ ile $1$ arasında bir tam sayı yoktur.$e^s$ bir irrasyoneldir. $\Box$

Answer 2

$e$ için deneyelim;

Olmayana ergi yapalım ve diyelim ki, $e$ bir kesirli sayıdır ve aralarında asal olan 2 tane tam sayı tarafından şu şekilde yazılsın;

$$e=p/q \quad p,q\in\mathbb Z$$

$$e=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=0}^n\dfrac{1}{i!}$$

Bir tam sayı(hatta dogal sayı) elde etmek için eşitliğin taraflarını $q!$ ile çarpalım,

$$eq!=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=0}^n\dfrac{q!}{i!}=\underbrace{\sum_{i=0}^q\dfrac{q!}{i!}}_R+\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=q+1}^n\dfrac{q!}{i!}}_Q$$


$eq!$ bir doğal sayı olduğundan eşitliğin sağ tarafı da doğal sayı olmalı ve $R$ doğal sayı olduğundan,$Q$ da doğal sayı olmalı ancak $Q$'yu biraz daha açar incelersek,

$$Q=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{q!}{(i+q)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{(1+q)(2+q)...(i+q)}$$

Ve şu eşitsizlikten dolayı,

$$i,q \in \mathbb N\\ (1+q)(2+q)...(i+q)>(1+q)^i$$

Dolayısıyla $Q$ bir dogal sayı olmasına rağmen aşağıdaki eşitsizlik doğru olması bir çelişkidir.

$$0<Q<\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=i}^n\dfrac1{(1+q)^i}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{1+q}}-1<1$$