$x+y+z=1$ pozitif reel sayıları için $\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\left(1+\frac1z\right)$ çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Question

Soru TÜBİTAK 1. Aşama sorusu burda sorabiliyor muyuz bilemedim sorulamuyorsa silerim $x+y+z=1$ pozitif reel sayıları için $\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\left(1+\frac1z\right)$ çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Answer 1

$\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)$ ifadesi $x=y=z=1/3$ için 64 değerini alır. Bundan daha az olamayacağını gösterelim.

$$\begin{array}{lll} \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right) &=& \frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{xyz}\\&=& \frac{1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz}{xyz}\\&=&\frac{2+xy+yz+zx+xyz}{xyz}\\&=& 1 + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{xyz}\end{array}$$ eşitliğini aklımızda tutalım, birazdan gerekecek.

GO $\leq$ AO eşitsizliğinden dolayı $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{3}{(xyz)^{1/3}}$ olur. Bunu yukarıda elde ettiğimiz eşitliğe yerleştirirsek, $$\begin{array}{lll} \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right) &=& 1 + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{xyz}\\ &\geq&  1 + \frac{3}{(xyz)^{1/3}}+\frac{2}{xyz}\end{array}$$ elde ederiz. Bunu aklımızda tutalım, birazdan gerekecek.

GO $\leq$ AO eşitsizliğinden dolayı $(xyz)^{1/3} \leq \frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3},$ yani $xyz \leq \frac{1}{27}$ olur. Yukarıda bıraktığımız yerden devam edecek olursak, $$\begin{array}{lll} \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right) &\geq& 1 + \frac{3}{(xyz)^{1/3}}+\frac{2}{xyz}\\ &\geq& 1 + \frac{3}{(1/27)^{1/3}}+\frac{2}{1/27} = 64\end{array}$$ elde ederiz.

Comments

Meğer benden 8 saat önce Temel Gökçe çözmüş. Görmedim, özür. Emeğimi silemeyeceğim, affola!

---

Teşekkür ederiz Ali Hocam.

Benimkisi zaten foto olarak atildiğindan güzel ve anlasılır durmuyordu.Ben siliyorum.

Saygılar, tekrar çok teşekkürler.

Answer 2

Ali Nesin'in çözüm çok sade ve güzel, sadece farklı bir bakış açısı ile çözmek isterseniz

Jensen eşitsizliği kullanalım $f(x)=-ln(1+1/x)$ alalım $f''(x)=1/(x+1)^2-1/x^2 \leq 0$ içbükeydir. Jensen eşitsiliğini yazarsak $$-ln(1+1/x)-ln(1+1/y)-ln(1+1/z) \leq -3ln(1+1/({x+y+z}){3}$$ $x+y+z=1$ yazıp eşitsiliği düzenlersek $$3ln4 \leq ln(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)$$ buradanda  $$ (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) \geq 64$$ buluruz

Comments

Cozumde hatalar var:

(1) Eger \(f(x) = -\ln(1+\tfrac1x) \) ise o halde 

\(f(x) = \ln(1+\tfrac1x)^{-1} = \ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right) = \ln(x) - \ln(x+1)\)

ve dolayisiyla

\(f''(x) = \dfrac1{(x+1)^2} - \dfrac1{x^2}\)

olur. Bu cok buyuk bir sorun degil cunku fonksiyon yine de icbukey.

(2) Jensen esitsizligini uygularken de bir hata var. Esitsizlikte agirliklarin toplami fonksiyonun argumanina bolunuyor. O yuzden soyle gorunmeli:

\(-\ln(1+\tfrac1x)-\ln(1+\tfrac1y)-\ln(1+\tfrac1z) \leq -3 \ln\left(1+ \dfrac{\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z}{3}\right)\)

ya da

\(\ln(1+\tfrac1x)+\ln(1+\tfrac1y)+\ln(1+\tfrac1z) \geq 3 \ln\left(1+ \dfrac{\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z}{3}\right)\)

Simdi harmonik ortalama, aritmetik ortalamadan daha kucuk oldugu icin

\(\dfrac{3}{\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z} \leq \dfrac{x+y+z}3 = \dfrac13 \implies \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z \geq 9\)

olur. Nihayet logaritmanin hep artan oldugunu kaale alarak

\(\ln(1+\tfrac1x)+\ln(1+\tfrac1y)+\ln(1+\tfrac1z) \geq 3\ln(4)\)

oldugunu ve dolayisiyla sorudaki iddiayi gosteririz.

---

Teşekkür ederim işlem hatasını gösterdiğiniz için düzeltirim yalnız Jensen uygulamasında hata olmadığını düşünüyorum.