Cebir - Grup teorisinde, bir elemanın gruptaki merkezleyeni sorusu.

Question

$C_{G}\left( x\right) \subseteq C_{G}\left( y\right) \Leftrightarrow y\in Z\left( C_{G}\left( x\right) \right)$

$C_{G}\left( a\right) =\left\{ x\in G|ax=xa\right\}$ olarak tanımlanmış. Ve bu ifadeye a'nın G grubunda ki merkezleyeni denmektedir. 

Şöyle yapmayı düşündüm, eğer eleman grubun merkezindeyse merkezleyeninde de olmalı diye ama bir şeyler çıkaramadım ? Yardımcı olur musunuz. Teşekkür ederim.

Comments

Biraz karalama yap mesela soldan sağa kısmına başla neler geliyor.

---

İlk olarak konuyu fark etmeden yanlış yere açmışım, kusura bakmayın. Uğraştım biraz ama bir şey çıkaramadım. 

Answer 1

$\Rightarrow$ $a\in C_{G}(x)$ olsun. Kabulden $a\in C_{G}(y)$ olur. Yani, $ay=ya$. Bu ise $y\in Z(C_{G}(x))$ olmasıdır. Tersine $a\in C_{G}(x)$ olsun.  $y\in Z(C_{G}(x))$ olmasından $ay=ya$ yani $a\in C_{G}(y)$ bulunur.

Not: $G=D_{4}$ ya da $Q_{8}$ alarak ifadeyi canlandırabilirsiniz.

Comments

Teşekkür ederim yardımınız için.