Eğer $I$ ideallerin ikisinin bileşimindeyse sorun yok. Öyle olmadığını varsayalım. $a_1\in I \setminus (J_2\cup P)$, $a_2\in I \setminus (J_1\cup P)$ ve $s \in I \setminus (J_1\cup J_2)$ olsun. Demek ki $a_1\in J_1$, $a_2\in J_2$ ve $s\in P$. Şimdi, $s + a_1a_2$ elemanı $I$'da olduğundan, üç idealden birindedir. $P$'de olamaz, çünkü aksi halde $a_1a_2\in P$ olurdu. Diyelim $J_1$'de, ama o zaman da $s\in J_1$ olmalı. Çelişki.