$\left( \begin{matrix} 4\\ 0\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 5\\ 1\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 6\\ 2\end{matrix} \right)+\cdots+ \left( \begin{matrix} 10\\ 6\end{matrix} \right)$ ifadesinin değeri ?

Question

$\left( \begin{matrix} 4\\ 0\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 5\\ 1\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 6\\ 2\end{matrix} \right) +\ldots+  \left( \begin{matrix} 10\\ 6\end{matrix} \right)$

ifadesinin değeri ?

@hepsinin alt kısmı 4 e eşit oluyor.burdan bişeyler çıkacağını düşünüyorumda.ben bulamadım..

Comments

Son terimden önceki  artı işareti unutulmuş.

Sayılar küçük olduğu için sonuç  rahatlıkla bulanabilir.

Kombinasyon formülü  kullanılabilir.

---

tek tek toplamak yinede uzun olur hocam :) ygs mantığını düşünürsek :)

---

Latex kodunun daha kolayı var:

N \choose k şunu veriyor : $$N\choose k$$

\binom{N}{k} de şunu veriyor: $$\binom{N}{k}$$

---

unutmam inş :)

---

Kadir, yazımı neden boyle yapıyorsun? beyazlı karmakarışık bir şekilde? bilgisayarında hatalı mı yazdırıyor?

---

düzeldi sanırım ?

Answer 1

Teorem 1 : Pascal özdeşliği

$1 \leq k \leq n$ olmak üzere $n\choose k$ + $n\choose k+1$ = $n+1\choose k+1$ eşitliği geçerlidir.

Basit cebirsel yöntemlerle ispatlanabilir. Ama YGS için formülü ezbere bilmeniz yeterli.

Buna göre soruyu çözelim.

$ 4\choose 0$ + $5\choose 1$ + $6\choose 2$ +......+$10\choose 6$ ifadesinde $5\choose 0$ ekleyip çıkaralım.

$ 4\choose 0$ + $5\choose0$ + $5\choose 1$ + $6\choose 2$ +......+$10\choose 6$ -  $5\choose 0 $

olup,

$5\choose0$ + $5\choose 1$ = $6\choose1$

$6\choose1$ + $6\choose2$ = $7\choose2$

şeklinde bir zincirleme reaksiyonun oluştuğunu farkedin. $4\choose 0$ - $5\choose0$ = $0$ olacağından, en son

$10\choose 5$ + $10\choose6$ = $11\choose6$ olacaktır cevabımız.

@buskerhaund hocam en genel halini vermiş bu yöntemin. İspatını ise $n+1\choose0$ ekleyip çıkararak yapabilirsiniz.

Comments

bu formüller hangi konuda veriliyor.kombinasyon,binom ?

---

Kombinasyon genelde problem çözümü üzerinde duruyor, bu formülleri binom çalışırken öğrenmiştim ben.

---

binoma başlandıda,bu formüller verilmedi ondan sordum

---

Ben lise 3 öğrencisiyim, olimpiyat kaynaklarından gördüm bu formülleri hep,, yani 3 senelik lise hayatımda böyle bir şey öğretmediler bana

---

Binom açılımı ygs-lys çalışması için basit bir iki formül ile geçiştiriliyor çoğu zaman.Oysa bunların hiç olmazsa binom konusunda not edilmesi gerekli..Oysa kombinatorik konusu çok geniş.Lise öğretimi tamamen sınava yönelik döndüğü için atlanıyor.Bence rahatlıkla anlatılır ve de anlaşılır.Hiç olmazsa doğukan kardeşimizin yaptığı gibi nasıl çarpanlara ayırma da terim ekleme çıkarma yapmayı öğretiyorsak bunlarda da yapılabilirliğini anlatmak göstermek çok faydalı olur 

Answer 2

Kimyager

$\left( \begin{matrix} n\\ 0\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n+1\\ 1\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n+2\\ 2\end{matrix} \right) +\ldots \cdot +\left( \begin{matrix} n+r\\ r\end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} n+r+1\\ r\end{matrix} \right) $   

 formülü işe yarar.

Comments

sağolun hocam :)

---

formul ispatı var mı hocam?

---

Var hocam notlarımda var ispatına bakarım hocam.

Pascal Özdeşliği:

$\forall{1\le{r}\le{n}} $ için  

$\left( \begin{matrix} n\\ r\end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} n-1\\ r-1\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n-1\\ r\end{matrix} \right)  $ 

Buradan yola çıkarak $\left( \begin{matrix} n\\ 0\end{matrix} \right) $ yerine $\left( \begin{matrix} n+1\\ 0\end{matrix} \right) $    yazalım

$\left( \begin{matrix} n+1\\ 0\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n+1\\ 1\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n+2\\ 2\end{matrix} \right) +\ldots \cdot +\left( \begin{matrix} n+r\\ r\end{matrix} \right) $

Pascal özdeşliğini kullanarak  

$\left( \begin{matrix} n+1\\ 0\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n+1\\ 1\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} n+2\\ 1\end{matrix} \right)  $

$\left( \begin{matrix} n+2\\ 1\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n+2\\ 2\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} n+3\\ 2\end{matrix} \right)  $

...

şeklinde ard arda pascal uygulanırsa

...$\left( \begin{matrix} n+r\\ r-1\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n+r\\ r\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} n+r+1\\ r\end{matrix} \right)  $

elde edilir.

Latex ile anca bu kadar yazabildim :-)

---

@buskerhaund sorunun altına da yazdığım gibi, daha kolay yöntemler var Latex için.

---

Farkettim hocam sağolun.Biliyorsunuz yeni öğrendim latex i hemen not ettim. böylesi çok kolay.Peki hocam toplam simgesini yazarken bu sınırları tam altta nasıl denk getiriyoruz?Bir kaç soruda baktım kodlara ama ben yazınca dönüşmedi hocam.\displaystyle yazmam lazım galiba ama bir türlü oturtamadım.Zahmet olmazssa bir örnek kod alabilir miyim.Belki parantez olayında yanlış yapıyorum.Teşekkürler

---

parantezlerin tam kaplamasını istiyorsak veya sadece parantez de degil çogu kapatıcı formun tam olarak uzamasını ıstıyorsak \leftSEMBOL \rightSEMBOL şeklınde yazıp içeriye istenileni yazabılırız,

Görünüm:$\left(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\right)$
Kod : \left(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\right)

burada displaystyle komutu sembollerı buyutuyor \left \right ise kapatıcı sembollerı bu buyuyen sembollere gore düzenlıyor.

Bu arada eşitlik için teşekkürler ve ayrıca paskalı da ispatlamak için sordum :) 

---

anladım hocam sağolun.Benim sorduğum şu $\sum_{i=1}^{n} $ yazdığımda sınırlar alt kısma gelmiyor,toplam simgesinin ayak ucuna geliyor.Bunu nasıl yapıyoruz?

---

\displaystyle eklemek yetiyor başına ve sanırım tüm cevapta birkere bu komutu yazmak yetiyor daha sonra sadece \sum ve \int yetiyor, bu arada ben ögrenciyim hocam, sadece anıl  :) :) 

---

Olsun ne farkeder bu konuda hocamızsınız.Biz çok mu hocayız :-)Teşekkürler

---

@buskerhaund Ne demek. Zamanla öğreniliyor tabii böyle küçük nüanslar. Çok da önemli değil. Kanıt daha önemli :)

Bu arada \displaystyle dışında şunu da yapabilirsin, kodunu iki dolar işareti arasına almak yerine dört dolar işareti arasına alabilirsin. Dolar dolar kod dolar dolar gibi.

$\sum_{a}^{b}$ yerine

$$\sum_{a}^{b}$$

gelir. (Bunu eğer kendi bilgisayarındaki Latex programında yapmak istiyorsan başka yollar da var)

---

Eyvallah işte aradığım buydu.Teşekkürler hocam.