Genel terimi hep irrasyonel pozitiv reel sayı olan sonsuz toplam, bir rasyonel sayıya eşit olabilir mi? Formal olarak nasıl ıspatlayabılırız.

Question

Pozitiv irrasyonel sayılardan istediklerimizi alalım sürekli toplayalım, öyle bir toplam bulabilir miyiz ki bu toplam bir rasyonel sayıya eşit olabilsin?


$a_n=0,1010010001000010000010000001.........$

$b_n=0,898998999899998999998999999899999...$




$a_n+b_n=1$ ediyor.



Aslında yukardaki gibi basit ama peki transandantal sayıların sonsuz-sonlu toplamları bir rasyonel sayı eder miydi? Aslında aradığım şey böyle bir örnek değil de daha formal bir dil kullanılarak ispatlanması.


$e$ ve $\pi$ lerden oluşan toplamlar mesela?

Comments

fizik sorusu mu bu?

---

Ramanujan sabiti

Aradigin sey nerdeyse tamsayi olan irrasyonel sayilar..

http://mathworld.wolfram.com/RamanujanConstant.html

http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_integer

---

$\sqrt{2}+3$  ile $2-\sqrt{2}$  toplami tam sayidir..

---

Bu arada $a_n+b_n=0.1111111..$ yapiyor. Birini 0.909009 ile degistirmek gerek..

---

Duzelttim, ayrica boyle ornekler vermek kolay oyuzden formal ispatini yapmak gerek ve biraz cok zor, tesekkurler linkle4 ve bilgiler icin.

---

$\frac{\pi^2}6=1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots$ dan

$1=\frac6{\pi^2}+\frac6{4\pi^2}+\frac6{9\pi^2}+\cdots$

$e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}$ den

$1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{en!}$ 

---

$a_n$  ayni kalirsa   $b_n=0.898998999899998999998999999899999...$  soyle olmali

---

@Okkeş : haklısınız duzelteyım, yoldayken bakınca tam konsantre olamamışım demekki.

@Dogan hocam, ornekler için müteşekkirim.

---

Doğan hocanın verdiği örnekteki ilkeyle doğal sayılar üzerine olasılık dağılımları da tanımlanıyor.

Answer 1

Doğan hocanın yorumda verdiği yanıtın üstüne koyup hiçbir şey yapmadan genel bir yanıt vereyim.

$r=0,a_1a_2\cdots a_n\cdots$ biçiminde bir irrasyonel sayı al. Örnek: $$1=\sum_{i=1}^{\infty}\Big(\frac{a_i}{10^i}\cdot \frac{1}{r}\Big)$$