$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^ni^k}{n^{k+1}}$ limitini değerlendirelim.

Question

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^ni^k}{n^{k+1}}$ bu lımıtı cozmek ıcın farklı yontemlerı toparlayalım.Çok bariz degıl ve bence guzel bır lımıt olabılır.


Faulhaber formulu, binomal acılım, serilerle ılgılı spesıfık lemmalar kullanarak cozulebılır, ben bir yontemı daha sonra yazmak ıstıyorum akılları karıştırmasın dıye.

Answer 1

Riemann toplamindan $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^k=\int_0^1 x^kdx=\frac{1}{k+1}$$ oldugu bulunabilir.

Comments

Sadece üstteki seri toplamı için bir şey diyebilir miyiz?

$1^k+2^k+...+n^k=?$

---

O toplamin degerini degil de en buyuk gelecek kuvveti bulmak onemli. Cunku limit var. Bu toplamin $an^{k+1}+\cdots$ seklinde olacagini gostermek basit. ikinci olarak $a=1/(k+1)$ olacagini bulmak basit. Fakat tam acilimindaki terimler genel olarak formulize edilse de bilinmiyor.