$x,y$ pozitif gerçel sayılar $\begin{align*} & x^{2}+y\sqrt {xy}=336\\ & y^{2}+x\sqrt {xy}=112\end{align*} $ old.göre $x+y$ kaçtır?

Question

alt alta toplayıp bir yere varamadım.. ben çok uzattım soruyu

Comments

$x^3+y^3=448.(x+y-\sqrt {xy})$

buraya kadar geldim :)

---

Merhabalar

Ustteki ifadeyi $\sqrt{x}$ alttaki ifadeyi de $\sqrt{y}$ parentezine alip taraf tarafa oranlarsak birseyler cikar mi?

Kolay gelsin

---

kökx lerle hiç oynamamıştım evet.erdicim ellerinden öper :d

---

Üniversite giriş sınavına hazırlanan gençlere önerim:

Soru ve seçenekleri  bir arada gözönünde bulundurulmalı, 

hatta önce seçeneklere bakılmalı daha sonra soru okunmalıdır.

x=18,  y=2 alınırsa x+y=20 olur. 

Bu değerlerin her iki eşitliği de sağlayıp sağlamadığına bakılır. 

---

hocam şıklardan değer vererek gitmemizimi öneriyorsunuz ?.

hatta şöyle anladım.cevap 20 verildiyse.x ve y nin toplamı 20 olacak şekilde değer veriyoruz.tutarsa budur.tutmassa değildir.biraz saçma geldi :)

---

Gerisi size kalmış:)

---

şıklar tamsayı ise bu taktik işe yarar diyosunuz yani

---

tam benlik :D bunu deneyeceğim ama çözemediğim soruda

Answer 1

(iki eşitliği oranlayıp düzenleyelim.)

$$\frac{x^2+y\sqrt{xy}}{y^2+x\sqrt{xy}}=3$$

$$\frac{(y^2-x\sqrt{xy})(x^2+y\sqrt{xy})}{(y^2-x\sqrt{xy})(y^2+x\sqrt{xy})}=3$$

$$\frac{(y^2-x\sqrt{xy})(x^2+y\sqrt{xy})}{y^4-x^3y}=3$$

$$\frac{x^2y^2-x^3\sqrt{xy}+y^3\sqrt{xy}-x^2y^2}{y^4-x^3y}=3$$

$$\frac{-x^3\sqrt{xy}+y^3\sqrt{xy}}{y^4-x^3y}=3$$

$$\frac{\sqrt{xy}(y^3-x^3)}{y(y^3-x^3)}=3$$

$$\frac{\sqrt{xy}}{y}=3$$

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=3$$

$$x=9y$$

iki denklemden herhangi birinde bu eşitlik uygulandığında (pozitif değerlerin) $x=18$ , $y=2$ olduğu görülecektir.

Comments

Carpip bolerken $y\ne x$ kosulunu koymak gerekiyor. (Zaten olamiyor). Son sadelestirmeden "y=x" de geliyor hatta. Fakat ilk basta $y\ne x$ dersek sonuncusuna gerek kalmaz.

---

$y=x$  eşitliğini göremedim hocam. İkisinin $0$ olma durumundan mı bahsediyorsunuz?

---

eline sağlık merve :) teşekkür ederim

---

rica ederim, iyi çalışmalar.

Answer 2

$\sqrt x=a\sqrt y$ olsun. ( $a>0$ olur)

Birinci denklem $(a^4+a)y^2=336$ İkinci denklem $(1+a^3)y^2=112$ şekline gelir.

Buradan ($ y^2\neq0$ olduğunu da kullanarak) $a^4+a=3(1+a^3)$ olur ve ($a= -1$ olamayacağı için) $a=3$ olduğu görülür. 

Gerisi kolay.

Comments

Hocam peki bu ilk satırdaki formun dışında bir formda çözüm olamaz mı? Başka cevapların gelemeyeceğini nasıl garantileriz?

---

Burada başka çözümler dışlanmıyor. 

Şöyle düşünelim: $(x_0,y_0)$ sistemin herhangi bir çözümü olsun. 

(Çözümün var olduğundan, işlemlerin sonunda bulacağımız,  $x_0=18,y_0=2$ ikilisinin denklemi sağladığı görerek emin olacağız)

(ikisi de pozitif olmak zorunda olduğundan) $a=\sqrt{\frac{x_0}{y_0}}$ olsun.

Denklemlerden,  $a=3$ olması gerektiğini buluyoruz. Değişkenlerden birini yok ederek oluşturduğumuz denklemin tek bir (gerçel) çözümü çıkıyor. Birden çok (pozitif) $a$ değeri bulsaydık veya bir değişkenli denklemimizin  birden çok çözümü olsaydı sistemin birden çok çözümü var olabilecekti.

---

Anladim hocam, tesekkur ederim.