Öncelikle güzel bir soru olduğunu ifade etmek isterim.
Ben aşağıdaki önermeyi kanıtlayacağım;
$u>0$ ve $v>0$ olmak üzere,
$a_{n+1}=u.a_{n}+v.a_{n-1}$ (1)
şeklindeki rekürsif dizinin sıfırdan farklı sonlu limitinin olması için gerek ve yeter koşul $u+v=1$ olmasıdır.
Kanıt: Gereklilik açıktır;
$\lim_{k\rightarrow \infty }a_{k}=a\neq 0$
olsun. (1)'de limite geçersek, $a=u.a+v.a$ olur ki, buradan da $u+v=1$ bulunur.
Yeterlilik: $u>0$, $v>0$ ve $u+v=1$ olsun. (1)'de $u=1-v$ yazalım:
$a_{n+1}=\left( 1-v\right) .a_{n}+v.a_{n-1}$, buradan da
$a_{n+1}-a_{n}=\left( -v\right) \left( a_{n}-a_{n-1}\right) $.
Şimdi $a_{n}-a_{n-1}=b_{n}$ . dersek $b_{n+1}=\left( -v\right) b_{n}$.
Yani $ (b_{n})$ bir geometrik dizidir.
$b_{n+1}=\left( -v\right) ^{n}b_{1}$;
burada $b_{1}=a_{1}-a_{0}$ dır. Yukarıdaki eşitlikten,
$a_{n+1}-a_{n}=\left( -v\right) ^{n}b_{1}$
veyahutta,
$a_{n}=a_{n+1}-\left( -v\right) ^{n}b_{1}$
bulunur. Bu son eşitliği $m$-defa tekrar edersek,
$a_{n}=a_{n+2}-\left( -v\right) ^{n+1}b_{1}-\left( -v\right)^{n}b_{1}=...=a_{n+m}-\left( -v\right) ^{n+m-1}b_{1}-\left( -v\right)^{n+m-2}b_{1}-...-\left( -v\right) ^{n}b_{1}$
elde edilir. Buradan da
$\left\vert a_{n+m}-a_{n}\right\vert \leq \left\vert b_{1}\right\vert \left(v^{n+m-1}+v^{n+m-2}+...+v^{n}\right) \leq \left\vert b_{1}\right\vert \frac{1}{1-v}v^{n}$
bulunur. Yani
$\left\vert a_{n+m}-a_{n}\right\vert \leq |b_1|\frac{1}{1-v}v^n$. Burada $0<v<1$ olduğundan $\left\{ a_{n}\right\} _{n\geq 1}$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu çıkar. Dolayısıyla sonlu limiti vardır.