1. $G$ bir abelyen grup olsun. $G$'nin kendi uzerine
$\sigma \cdot a : = \sigma + a - \sigma $ etkisi, $A = G$'yi bir $G$-modul yapar.
-
$0 \cdot a = 0 + a - 0 = a$;
-
$\sigma \cdot (a + b) = \sigma + a + b -\sigma = \sigma + a - \sigma + \sigma + b - \sigma = \sigma \cdot a + \sigma \cdot b$
-
$(\sigma + \tau) \cdot a = (\sigma + \tau) + a (- \tau - \sigma) = \sigma + (\tau + a - \tau ) + \sigma = \sigma \cdot (\tau \cdot a)$
2. Oncelikle, $\mathbb{Z}[G]$ uzerindeki toplama islemi $$ \left( \sum_{\sigma} n_{\sigma} \sigma \right) + \left( \sum_{\sigma} m_{\sigma} \sigma\right) = \sum_{\sigma} (n_{\sigma} + m_{\sigma} )\sigma$$ Bu islemin bir grup yapisi verdigi acik. Gecislilik (associativity?), $\mathbb{Z}$'deki gecislilikten geliyor. Sifir elemani, butun katsayilarin sifir oldugu eleman. $-(\sum_{\sigma} n_{\sigma} \sigma)$ da $\sum_{\sigma} (-n_{\sigma}) \sigma$. Ayrica bu bir abelyen grup, bu da $\mathbb{Z}$'nin abelyen olmasindan dolayi.
Simdi, $G$'nin $k$ elemanli oldugunu dusunelim ($G = \{ g_1 , \ldots, g_k \}$).
$$ f: \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}^k \\ n_1 g_1 + \ldots + n_k g_k \mapsto (n_1, \ldots, n_k )$$seklinde tanimlanan fonksiyon acik bir sekilde grup homomorfizmasidir. Ortenligi ve birebirligi de bariz.
3. $\mathbb{Z}[G]$ uzerindeki carpma islemini dogal olarak $$\left( \sum_{\sigma} n_{\sigma} \sigma \right) \left( \sum_{\sigma} m_{\sigma} \sigma\right) = \sum_{\rho\tau = \sigma} (\sum{n_{\rho} m_{\tau}}) \sigma \quad ^*$$ olarak tanimladigimizda halka ozelliklerinin saglandigini goruyoruz. Ayrica $G$'nin $\mathbb{Z}[G]$'nin bir altkumesi oldugunu ve grup halkasindaki carpmanin $G$'ye kisitlanisinin gruptaki islem oldugunu gozlemlemek zor degil. O yuzden, $G$ abelyen degilse, grup halkasi da degismeli olamaz. Eger $G$ abelyense, o zaman yukaridaki islemde her seyin rahatlikla yer degistirecegini de gorebiliriz.
4. $\mathbb{Z}[G]$'nin $A$ uzerine etkisini soyle tanimlayalim:
$$\sum_{\sigma} n_\sigma \sigma \cdot a = \sum_\sigma n_\sigma(\sigma a)$$ Simdi,
$r = \sum_\sigma n_\sigma \sigma$ ve $s = \sum_\sigma m_\sigma \sigma$ olsun. $A$'nin bir $G$-modul oldugunu kullanarak,
-
$r (a + b) = \sum_\sigma n_\sigma (\sigma(a+b)) = \sum_\sigma n_\sigma (\sigma a + \sigma b) = \sum_\sigma n_\sigma (\sigma a) + n_\sigma (\sigma b) = ra + rb$
-
$(r + s)a = \sum _\sigma (n_\sigma + m\sigma) \sigma a = \sum_\sigma (n_\sigma + m_\sigma)(\sigma a) = \sum_\sigma n_\sigma \sigma a + m_\sigma \sigma a = r a + s a$
-
$(rs)a = \sum_{\rho \tau = \sigma}(\sum n_\rho m_\tau)\sigma a = \sum_{\rho \tau = \sigma} (\sum n_\rho m_\tau)(\sigma a) = r(\sigma a)$
-
$1 a = 1 1_G a = 1_G a = a$
Demek ki, $A \in G- mod$ ise $A \in \mathbb{Z}[G] - mod$.
$^*$ Bu islemin neden dogal oldugunu iki polinom alip birbiriyle carparak gorebiliriz. Katsayilarin nasil geldigi onemli. Yoksa $\mathbb{Z}[G]$'nin serbest halkadan farki kalmaz ki bunu hicbirimiz istemeyiz sanirim.