Koni biçimindeki kabın,hacminin yüksekliğine bağlı değişim oranı ?

Question

Tepe noktası aşağıya doğru bakan koni biçiminde bir su kabının yarıçapı 12cm,yüksekliği 20 cmdir.Tamamen su ile doldurulan kap,tepe noktasından dışarıya su sızdırmaktadır.

Buna göre kaptaki suyun yüksekliğinin 5 cm olduğu anda kaptaki suyun hacminin,suyun yüksekliğine bağlı değişim oranı kaç $cm^3$ tür ?

:$\dfrac {dv} {dh}$

 

$\dfrac {\pi.r^2.h} {3}$,

h=5. cm iken yarıçapı buluyorum.alanlar oranı/yükseklikler oranının küpü mantığı ile.

sonra üstte yazdığım formülün türevini alıyorum.

$\dfrac {\pi.r^2.h'} {3}$

h' yerine 5 yazıyorum..vede orandan bulduğum r değerinide yerine yazınca.

$\dfrac {36} {5}\pi$ buluyorum.cevap $9\pi$

Comments

başlık uygun degıl, soru metnı ve açıklaması çok az.

---

düzenledim biraz           

---

$r$ sabit değil,  $h$ ye bağlı olarak değişiyor. Ayrıca $\frac{dV}{dh}$ de  $h'=\frac{dh}{dh}=1$ olur.

---

$r^2.h$ ın çarpım türevinimi alacağım hocam ?

kurguyu kuramadım kendimce.

---

Evet. Bir de $r$ nin $h$ ye göre nasıl değiştiğini anlaman gerekiyor.

---

düşünmeye devam :)

---

şöyle bir çözüm ulaştı elime;

r=3, h=5 

$\dfrac {\pi.{\dfrac {9h^2} {25}.h}} {h}$

işlemiyle h ı yerine yazıp $9\pi$ elde edilmiş...burdaki mantığı hiç anlayamadım..

Answer 1

$\dfrac{r}{h}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5} $  $\Rightarrow r=\dfrac{3.h}{5} $

$ V=\dfrac{1}{3}.\pi.r^2.h $  $\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.\pi.(\dfrac{3.h}{5})^2.h $

$\Rightarrow V=\pi.\dfrac{3.h^3}{25} $

$\dfrac{dV}{dh}=\pi.\dfrac{9}{25}.h^2 $  

$h=5 $ iken  $\dfrac{dV}{dh}=9.\pi $

Comments

r yide h ye benzetip öyle türev aldık,şimdi anladım..teşekkürler .