Limitin mantığı?

Question

Pek çok limit türev integral sorusu çözdüm, genel olarak sorularını çözebiliyorum, ama mantığı tam olarak kafamda oturmadı malesef, bunun sebebiyse limitin mantığının oturmamış olması. Lütfen limitin tam olarak nasıl işe yaradığını bir örnekle açıklayabilir misiniz? Örneğin lim x-->2 ye giderken x^3+4x+3 ü hesaplarken yaptığımız şey x gördüğümüz yere 2 yazmak. Fonksiyona bakarak bir değerin nereye yaklaştığını zaten söyleyebiliyoruz, belirsizlik varsa çarpanlarına ayırıp yok ediyoruz veya trigonometrik fonksiyonlarda katsayıların oranıdır diyip geçiyoruz... Burada yaptığımız şeyin "F(x)=x^3+4x+3, F(2)'yi bulunuz" sorusunda yaptığımız şeyden tam olarak farkı ne, mantığını öğrenmek istiyorum.

Comments

Maalesef bir çok okulda (dershanede, etüt merkezinde, hatta üniversitede) sizin de dediğiniz gibi "Örneğin lim x-->2 ye giderken x^3+4x+3 ü hesaplarken yaptığımız şey x gördüğümüz yere 2 yazmak" şeklinde veriliyor. Bunun için önce size yığılma noktası kavramını öğrenmenizi tavsiye ederim. Daha sonra tekrar buradan yazışırız.

---

Surekli fonksiyonlarda gecerli bir durum.

Bunun icin limit tanimini ve surekliligin ne oldugunu bilmek gerekli. 

Eger polinomlarin surekli oldugunu ispatlarsak bu bize su bilgiyi verir, herhangi bir polinom icin limit degeri fonksiyonun o noktadaki degerine esittir.

Fark (ornegin) surada $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$  nedir sorusunda $x=1$ koyamayiz.  

Burada $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$ oluyor, ama fakat lakin $x\ne 1$ ise. Limit de burada devreye giriyor.  Ilk fonksiyonun o noktada bir degeri yok ama $1$ civarinda (!?) alacagi deger $1+1=2$ civarinda...

Bu kolay dersen $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$'e bak. Cevap $1$ ama ispatlamak gerekli. 

---

$\displaystyle\lim_{x\to0}\lfloor1-x^2\rfloor$ limitine de bakabilirsin.($\lfloor\ \rfloor$: Tam Değer)