İş uzun gibi, fakat sonuç, rahatlıkla akılda tutulabilir ve pratik hesap yaparken kolaylıkla kullanılabilir. Şimdi,
$T$ bir lineer dönüşüm olsun. Polinomlar üzerinde çalışacağımız için, keyfî bir $n$ için $P_n$ polinomunu ele alalım:
$$P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$
Matris yaklaşımında $P_n$ matrisi katsayılarıyla aşağıdaki gibi temsîl edilir:
$$P_n \equiv \left(\begin{array}{c} a_n \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_1 \\a_0 \end{array}\right)$$
$P_n$, $(n+1)\times 1$ boyutlu sütun matristir. Sıra, $T$ dönüşümünün temsîline geldi. Bunun için, $\mathcal{B}$ bazının herbir elemanının $T$ altında nasıl değiştiğini incelemeliyiz. Yâni, $k=0, ... , n$ için
$$T(x^k)=?$$
Bunun için $T$'nin belirlenmesi gerekiyor. Eğer soruda verilen
$$T=: x\rightarrow\alpha x +\beta$$
operatörünü alırsak, Binom açılımı yardımıyla,
$$T(x^k)=(\alpha x +\beta)^k=\sum_{q=0}^{k}(\alpha x)^q \beta^{k-q}\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right)$$
buluruz. Burada, herkesçe bilinen
$$\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$yazımı kullanılmıştır. Elde ettiğimiz bu ifâde, yine $k$'yinci dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla $T$, $\mathcal{B}$'nin boyutunu korumuştur. Dönüşüm sonucunda elde ettiğimiz bu polinomun katsayıları,
$$\alpha^q \beta^{k-q}\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right),$$
$T$ operatmrünün matris temsîlinin $(n-k+1)$'yinci sütun, $(n+1-q)$'yuncu satır elemanını oluşturacaktır:
$$T_{n+1-q , n+1-k}=C_k^q. \tag{*}$$
Diğer bir deyişle, $k$'yinci dereceli terimin dönüşümü sonucu oluşan polinoma katkıda bulunan $q\leq k$ dereceli terimin katsayısını verecektir. Sıkça kullanacağımız için yukarıdaki denklemi $C_k^q$ kullanımıyla kısalttık.
Tanımı îtibâriyle $T$ matrisi altüçgen matristir. Gerçekten, $q<k$ dereceli terime $q>k$ dereceli terimler katkı yapmayacaklar. Bu durum, $C_k^q$'nın tanımıyla uyuşmadığı için, tanımı şöyle düzeltebiliriz:
$$C_k^q = \left\{\begin{array}{c c} \alpha^q \beta^{k-q}\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right) & q\leq k \\ &\\ 0 & q>k \end{array} \right.$$
Elde ettiklerimizi şimdi sonuçlandırabiliriz. Şimdi, $i=n+1-q$, $j=n+1-k$ kısaltmasıyla, $T$ dönüşümü altında $P_n$, $P'_n$'e dönüşür; yâni:
$$(P'_n)_i=T_{ij}(P_n)_j. \tag{**}$$
Burada $P$'ler sütun vektör olduklarından tek indis kullandık.
Sonuç: Eğer $n+1$ boyutlu polinom vektör uzayındaysak ve eğer bir $P_n$ polinomu verildiyse, o halde $\alpha x+\beta$ dönüşümü altında, eski ve yeni polinomun katsayıları arasındaki ilişki Denklem (**)'daki gibi olacaktır.
$\underline{n=0\hspace{15px} \mbox{durumu}}$
$n=0$ iken, $P_0=a_0$ sâbit teriminden ibâret olacaktır. $T$'yi türetelim. $n=0$ olduğundan, diğer tüm indisler $< 1$ değerleri alacaklardır. Bu durumda (*) denklemi
$$T_{1-q , 1-k}=C_k^q,$$
hâlini alır. Tabî ki $k, q\leq n$ sağlanır. O hâlde, $n=k=q=0$ eşitliği geçerlidir ve,
$$T_{1-q , 1-k}=T_{1,1}=C_0^0=1,$$
bulunur. Yani, beklendiği gibi, sâbit terimde herhangi bir değişim olmamaktadır.
$\underline{n=1\hspace{15px} \mbox{durumu}}$
Gelelim yine bâriz sayılabilecek bir duruma: $n=1.$ Bu durumda,
$$T_{2-q , 2-k}=C_k^q,$$
elde edilir. Terimleri $k, q=0,1$ için açacak olursak,
$$\left.\begin{array}{c c} T_{2 , 2}=C_0^0=1,\\ T_{2 , 1}=C_1^0=\beta,\\ T_{1 , 2}=C_0^1=0,\\ T_{1 , 1}=C_1^1=\alpha, \end{array}\right\}$$
Böylece, Denklem (**) kullanılarak,
$$\left.\begin{array}{c c c} (P'_1)_1=a'_1=T_{1,1}(P_2)_1+T_{1,2} P_2)_2=T_{1,1}a_1+T_{1,2}a_0&=&\alpha a_1,\\ (P'_1)_2=a'_0=T_{2,1} (P_2)_1+T_{2,2}(P_2)_2=T_{2,1}a_1+T_{2,2}a_0&=&\beta a_1+a_0 \end{array}\right\}$$
elde edilir ki doğrudan hesaplamayla,
$$a_1 x+a_0 \rightarrow a_1 (\alpha x+\beta)+a_0=\alpha a_1 x+(\beta a_1+a_0) $$
olduğu gerçeklenir.
$\underline{n=2\hspace{15px} \mbox{durumu}}$
Elle hesap işi gittikçe karışacak tabî ki; fakat son örnek de öğretici olacaktır. $n=2$ iken $k,q=0,1,2$ değerlerini alacaktır. Yine yukarıdakine benzer şekilde hesaplarsak, $T_{3-q , 3-k}=C_k^q,$ ile:
$$\left.\begin{array}{c c c} T_{3 , 3}=C_0^0&=&1,\\ T_{3 , 2}=C_1^0&=&\beta,\\ T_{3 , 1}=C_2^0&=&\beta^2,\\ T_{2 , 3}=C_0^1&=&0,\\ T_{2 , 2}=C_1^1&=&\alpha,\\ T_{2 , 1}=C_2^1&=&2\alpha \beta,\\ T_{1 , 3}=C_0^2&=&0,\\ T_{1 , 2}=C_1^2&=&0,\\ T_{1 , 1}=C_2^2&=&\alpha^2,\\ \end{array}\right\}$$
bulunur. Bu sefer daha az ayrıntıya girerek, yeni katsayılar bulunur:
$$\left.\begin{array}{c c c} a'_2&=&\alpha^2 a_2,\\ a'_1&=&2\alpha\beta a_2+\alpha a_1,\\ a'_0&=&\beta^2a_2+\beta a_1+a_0,\\ \end{array}\right\}$$
Bunu da elle hesaplarsak kolayca,
$$\left.\begin{array}{l l} a_2x^2+a_1 x+a_0\rightarrow\\ a_2(\alpha x+\beta)^2+ a_1 (\alpha x+\beta)+a_0=\\ \alpha^2 a_2x^2+ (2\alpha\beta a_2+\alpha a_1)x+(\beta^2a_2+\beta a_1+a_0) \end{array}\right\}$$
buluverirdik. İsterseniz $n=2$ için matrisi açıkça yazalım:
$$T\equiv\left(\begin{array}{c c c}\alpha^2 & 0 & 0 \\ 2\alpha\beta & \alpha & 0 \\ \beta^2 & \beta & 1 \end{array}\right)$$
Burada ilgi çekici bir durum var. Dikkat ederseniz bu matrisin sütun elemanları, $n=2$ için, $(\alpha+\beta)^k$, $k=0,1,2$ ifâdelerinin açılımındaki terimlerden oluşmaktadır. Yâni bu dönüşümün matris elemanını oluşturmak için binom açılımı kullanılır ve yeni katsayılar, bu matrisin eski katsayılar vektörüne etki ettirmekle bulunur.
Belirli bir $i$ teriminin katsayısının $0$ olması problemine buradan nasıl yol bulunur bilmiyorum.