1. $I_G$ verilen kume ile serbest bicimde gerilen abelyen gruptur:
$\sum_\sigma n_\sigma \sigma \in I_G$ olsun. Bunu, $n_1 1 + \sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma\sigma$ olarak yazalim. $I_G = \ker \epsilon$ oldugundan, $$\sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma = \epsilon (\sum_{\sigma\neq 1} n_\sigma\sigma) = - \epsilon(n_1 1) = -n_1 $$ Yani, $$n_1= - \sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma$$ O halde, $$\sum_\sigma n_\sigma \sigma = n_1 1 + \sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma \sigma = (- \sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma) 1 + \sum_{\sigma \neq 1}n_\sigma \sigma = \sum_{\sigma \neq 1}n_\sigma (-1) + \sum_{\sigma \neq 1} \sigma = \sum_{\sigma \neq 1}(\sigma -1)$$
Bu elemanlarin $\mathbb{Z}[G]$ icerisinde $\mathbb{Z}$-lineer bagimsiz olduklari bariz. Dolayisiyla, $$I_G = \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z}(\sigma - 1)$$
2. $J_G$ de verilen kume ile serbest bicimde gerilen abelyen gruptur:
$\sum_\sigma n_\sigma \sigma + \mathbb{Z}N_G \in J_G$'yi $\overline{\sum_\sigma n_\sigma \sigma}$ olarak gosterelim. $$\overline{\sum_\sigma n_\sigma \sigma} = \overline{n_1 1} + \overline{\sum_{\sigma \neq 1} n
_\sigma \sigma} = \overline{n_1 1} + \overline{\sum_{\sigma \neq 1} (n_\sigma - n_1 + n_1) \sigma} \\ = \overline{n_1 1} + \overline{\sum_{\sigma \neq 1} n_1 \sigma}+\overline{\sum_{\sigma \neq 1}(n_\sigma - n_1) \sigma} \\ = n_1 \overline{\sum_{\sigma} \sigma} + \sum_{\sigma \neq 1} \overline{(n_\sigma - n_1) \sigma} \\ = 0 + \sum_{\sigma \neq 1} (n_\sigma - n_1)\overline{\sigma}$$
Yine, $\mathbb{Z}$-lineer bagimsizlik bariz. Dolayisiyla, $$J_G = \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z}\overline{\sigma}$$
3. $\mathbb{Z}$ serbest abelyen grup, dolayisiyla izdusumsel $\mathbb{Z}$-modul. Yarilma onsavi (splitting lemma) bize bu kisa net dizinin yarilacagini soyluyor.
4. Abelyen grup olarak $\mathbb{Z}N_G \cong \mathbb{Z}$ ve $J_G = \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z} \overline{\sigma} \cong \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z}\sigma$. Yine yarilma onsavini kullanarak istenilen esitligi gosterebiliriz.