(1) Ilk soruyla baslayalim. $A$ ve $B$ birer abelyen grup (bir baska ismiyle $\mathbb{Z}$-modul) olsun. $f: A \to B$ bir grup homomorfizmasi olsun. O halde, her $n \in \mathbb{Z}$ icin ve her $a \in A$ icin $f(n a) = nf(a)$ oldugunu biliyoruz (basit grup teori). Yani, her grup homomorfizmasi bir $\mathbb{Z}$-modul homomorfizmasiymis. Ote yandan, $f: A \to B$ bir $\mathbb{Z}$-modul homomorfizmasi ise, tanim geregi bir grup homomorfizmasidir. Yani, $\mathbb{Z}$-morfizmalarinin kumesini $Hom(A,B)$ olarak gostermemizde sikinti yok.
(2) $Hom(A, B)$ kumesinin uzerinde $(f + g)(a) := f(a) + g(a)$ kurali ile tanimlanan standart bir abelyen grup yapisi vardir. Verilen kuralin bir $G$-modul yapisi tanimladigini gostermek icin teker teker kontrol edelim:
-
$f \in Hom(A, B)$ olsun. Her $a \in A$ icin, $(1 f)(a) = 1 (f 1 a)= 1(f(a)) = f(a)$. Ilk esitlik, verilen kuraldan. Ikinci esitlik , $A$ bir $G$-modul oldugu icin. Son esitlik ise $B$ bir $G$-modul oldugu icin. Demek ki, $1 f = f$.
- $\sigma \in G$ ve $f_1 , f_2 \in Hom(A,B)$ olsun. Her $a \in A$ icin, $\sigma(f_1 + f_2)(a) = \sigma((f_1 + f_2)(\sigma^{-1}a)) = \sigma(f_1 (\sigma^{-1}a)+ f_2(\sigma^{-1}a))$ $= \sigma f_1(\sigma^{-1}a) + \sigma f_2(\sigma^{-1}a) = (\sigma f_1 + \sigma f_2)(a) $. Burada da ilk esitlik tanimdan, ikinci esitlik $Hom(A,B)$ uzerindeki toplamsal yapidan, ucuncu esitlik $B$'nin $G$-modul olmasindan ve son esitlik ise yine tanimdan. Yani, $\sigma(f_1 + f_2) = \sigma f_1 + \sigma f_2$
-
$\sigma, \tau \in G$ olsun. Her $a \in A$ icin, $$(\sigma\tau)f(a) = \sigma \tau (f (\tau^{-1} \sigma^{-1} a))$$ ve $$\sigma(\tau f)(a) = \sigma(\tau f \tau^{-1})(a) = \sigma(\tau f \tau^{-1})(\sigma^{-1}a) = \sigma \tau (f (\tau^{-1} \sigma^{-1}a))$$ Yani, $$\sigma(\tau f) = (\sigma \tau)f$$
Demek ki, $Hom(A,B)$ de bir $G$-modulmus.
(3) Simdi bu $G$-modulun sabit modulunu bulalim. $f \in Hom(A,B)^G$ olsun. O halde, her $\sigma \in G$ icin ve her $a \in A$ icin, $$f(a) = \sigma^{-1} f (a) = \sigma^{-1} (f (\sigma a))$$Esitligin sol ve sag tarafini $\sigma$ ile carparsak, $$\sigma (f) = f(\sigma a)$$ buluruz. Demek ki, sabit moduldeki elemanlar birer $G$-modul morfizmasiymis. Ayni seyi tersten yapalim simdi de. Bir $G$-modul homomorfizmasi $f$ alalim. Her $\sigma$ icin $\sigma f (a) = f(\sigma a)$. Bunun da iki tarafini $\sigma^{-1}$ ile carparsak diledigimiz sonucu elde etmis oluruz. $$Hom(A, B)^G = Hom_G(A,B)$$
(4) Son olarak da, $G$-etkisine gore sabit kalan bir noktanin bir $G$-morfizma altindaki goruntusunun de $G$-etkisi altinda sabit kaldigini gosterelim. $a \in A^G$ olsun. $f(a) \in B^G$ oldugunu gosterecegiz. Her $\sigma \in G$ icin, $$\sigma(f(a)) = f(\sigma a ) = f(a) $$ Yani, $G$'nin elemanlarinin etkisi altinda $f(a)$ sabit kaliyor.
Uyaniginiz degil mi sorusu: Her $a \in A^G$ ve her $\sigma in G$ icin $\sigma a = a$. Yani, $A^G$'nin uzerindeki $G$-etkisi tiriskadan bir etki.