KÜMELER

Question

{1,2,...,n} elemanlı bir kümenin kaç altkümesinin elemanları toplamı n den büyük değildir ?

Comments

Alt  kümelerin elemanları toplamı ile kümenin eleman sayısının karşılaştırılması için  bence küme elemanlarının ne olduğu bilinmelidir.

---

n li bir formül bulunabilir  2 eleman alt kümelerde bulunuyor sanırm  karşılaştırılabilir amanasıl olur bilmem  iki elemanda mesela n çift ise 2k olsa 

$(1,2),(1,3),...,(1,2k-1)--> 2k-2 $tane 

$(2,3),(2,4),...,(2,2k-2)--> 2k-4$  tane vs bu şekilde olabiliyorsa 3 içinde 4 içinde olabilir aksi halde olamayacağını da kanıtlamak lazım gelir gibi bilmiyorm 

---

Bir kümenin elemanlarının toplamı ne demek?

---

Kümenin elemanları ne ise onların toplamı 

---

Benim bildiğim her şey toplanamıyor. Küme dediğin elemanları doğal sayı olan bir küme mi?

---

Evet soruyu o anlamda sordum  sizin diğer bildiğiniz kümelerden değil belirtsem iyi olacakmış ama belirtmemişim k bakmayn düzeltiyorum

Answer 1

Aradığınız sayı $$x_1 + \cdots + x_\ell \leq n $$ şeklindeki eşitsizliği sağlayan ve yazdığımız terimlerin sırasının önemli olmadığı pozitif tamsayı çözümlerin sayısıdır.  Önce bir terim daha ekleyerek bunu eşitlik yapalım:  $$ x_1 + \cdots + x_{\ell + 1} = n+1 $$ Demek ki aradığımız sayı $n+1$ sayısının parçalanmalarının (partitions) sayısıdır. Bu sayıyı da $$p(n+1) = \sum_{k\neq 0} (-1)^k p(n + 1 - k(3k-1)/2)$$ şeklinde özyinelemeli hesaplayabiliriz.