Hausdorff Uzaylarının Karakterizasyonuna Dair-I

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$(X,\tau), \text{ Hausdorff}\Leftrightarrow \Delta:=\{(x,x)|x\in X\}\in \mathcal{C}(X\times X,\tau\star\tau)$$

olduğunu gösteriniz.

Not-1: $\tau\star\tau:$ Çarpım topolojisi

Not-2: $\mathcal{C}(X\times X,\tau\star\tau):=\{F\subseteq X\times X|F, \ \tau\star\tau\text{-kapalı}\}$

Answer 1

İspatı iki adımda yapacağız. Birinci adımda $(X,\tau)$ Hausdorff olsun. $\Delta$ kümesinin $X\times X$ çarpım uzayında kapalı olduğunu göstereceğiz. $\Delta$ kümesinin tümleyeninin açık olduğunu gösterirsek ilk kısmın ispatını bitirmiş oluruz. 

Gerek kısmı: $(X,\tau)$ Hausdorff ve $(x,y)\notin\Delta$ olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} (x,y)\notin\Delta\Rightarrow x\neq y  \\ \\ (X,\tau), \text{ Hausdorff } \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists\in\mathcal{U}(y))(U\cap V=\emptyset)$$

$$\overset{?}{\Rightarrow}$$

$$(U\times V\in\mathcal{U}(x,y))((U\times V)\cap \Delta=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\times V\in\mathcal{U}(x,y))(U\times V\subseteq \setminus \Delta)$$

$$\Rightarrow$$

$$(x,y)\in (\setminus \Delta)^{\circ}$$

Buradan $$\setminus\Delta\subseteq (\setminus\Delta)^{\circ}\ldots (1)$$ elde edilir. Öte yandan 

$$(\setminus\Delta)^{\circ}\subseteq\setminus\Delta \ldots (2)$$ kapsaması daima doğrudur. O halde

$$(1),(2)\Rightarrow (\setminus\Delta)^{\circ}=\setminus\Delta \Rightarrow\setminus\Delta\in\tau\star\tau \Rightarrow\Delta\in \mathcal{C}(X\times X,\tau\star\tau).$$

$------------------------------------$

İkinci adımda $(X,\tau)$ topolojik uzayının birbirinden farklı her nokta çifti için bu noktaların ayrık komşuluklarının olduğunu göstermeliyiz.

Yeter Kısmı: $\Delta\in \mathcal{C}(X\times X,\tau\star\tau), \,\ x,y\in X$ ve $x\neq y$ olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} (x,y\in X)(x\neq y)\Rightarrow (x,y)\notin\Delta  \\ \\ \Delta \in \mathcal{C}(X\times X,\tau\star\tau)\Rightarrow \overline{\Delta}=\Delta \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists W\in\mathcal{U}(x,y))(W\cap \Delta=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists \mathcal{A}_1\subseteq\tau_1)(\exists \mathcal{A}_2\subseteq\tau_2)((x,y)\in W=\cup_{(A_1\in\mathcal{A}_1)(A_2\in\mathcal{A}_2)}(A_1\times A_2))(W\cap \Delta=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists U\in\mathcal{A}_1\subseteq\tau_1)(\exists V\in \mathcal{A}_2\subseteq\tau_2)(x\in U)(y\in V)((x,y)\in U\times V\subseteq W)(W\cap \Delta=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\in\mathcal{U}(x))(V\in \mathcal{U}(y))((U\times V)\cap \Delta=\emptyset)$$

$$\overset{?}{\Rightarrow}$$

$$(U\in\mathcal{U}(x))(V\in \mathcal{U}(y))(U\cap V=\emptyset).$$

Bu da bize $(X,\tau)$ topolojik uzayının Hausdorff olduğunu söyler.

NOT : $``$ $\overset{?}{\Rightarrow}$ $\mbox{''}$ olan yerlerde mutlaka biraz kafa yorulması gerektiğini de paylaşayım.