Homeomorfizmaya Dair-I

Question

$A=\{(x,y)|x^2+(y-1)^2=1\}\setminus\{(0,2)\}\subseteq \mathbb{R}^2; \,\ \mathcal{U}^2, \,\ \mathbb{R}^2$ üzerindeki alışılmış (Öklid) topoloji ve $\mathcal{U}, \,\ \mathbb{R}$ üzerindeki alışılmış (Öklid) topoloji olmak üzere $(\mathbb{R}^2,\mathcal{U}^2)$ topolojik uzayının bir altuzayı olan $(A,\mathcal{U}^2_A)$ topolojik uzayı ile $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ topolojik uzayının homeomorf olduğunu gösteriniz.

Comments

Hocam $\mathcal{U}$ nedir? Bir de $(A,\mathcal{U})$ ve bener biçimde $(\mathbb{R},\mathcal{U}^2)$ ikilileri nasıl topolojik uzay oluşturuyorlar. Yani, buradaki homepmorfizmadan kasıt büyük uzaylar arasında, küçük uzaylara kısıtlandığında homeomorfizma veren, bir homeomorfizma olduğu mu?

---

1) $\mathcal{U}, \,\ \mathbb{R}$ üzerindeki alışılmış topoloji (Öklid topolojisi)

2) $(A,\mathcal{U})$ ikilisi bir topolojik uzay oluşturmuyor.

3) $(\mathbb{R},\mathcal{U}^2)$ ikilisi de bir topolojik uzay oluşturmuyor.

4) $(A,\mathcal{U}^2_A)\cong (\mathbb{R},\mathcal{U})$ olduğunu gösteriniz deniyor. 

Soruyu iyi ifade edemedim galiba. Soruyu biraz daha düzenledim.

---

Ben total yanlış anlamışım :)

Answer 1

İpucu: $$f(x,y)=\frac{2x}{2-y}$$ kuralı ile verilen $$f:A\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu bijektif, sürekli ve tersi de süreklidir. (Neden?) Ve bu fonksiyonun kuralını nasıl bulduk? Cevap peyder pey güncellenecektir.

Answer 2

$(0,2)$ ve  $P=(x,y)$  çember üzerindeki noktalar olmak üzere bu noktalardan geçen doğru denklemini buluyoruz; dolayısıyla bu fonksiyon homeomorfizma şartlarını aşikar olarak sağlar. Bu fonksiyon yardımıyla $y=0$ için $P$ noktasını reel eksene resmettiğimiz açıktır (steografik izdüşüm). Sonuç olarak bir noktası çıkartılmış çember topolojik olarak bir doğruya denk (homeomorf) olmakta.