Değme Noktası ve Bazlara Dair

Question

Tanım 1: $(X,\tau)$ topolojiik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$\overline{A}:=\cap\{K|(A\subseteq K)(K\in \mathcal{C}(X,\tau))\}.$$

Not: $\mathcal{C}(X,\tau):=\{K|(K\subseteq X)(K, \ \tau\text{-kapalı})\}$

Tanım 2: $(X,\tau)$ topolojiik uzay, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere

$$x, A\text{'nın değme noktası}:\Leftrightarrow x\in\overline{A}$$

Teorem 1: $(X,\tau)$ topolojiik uzay, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere

$$x, A\text{'nın değme noktası}\Leftrightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A\neq \emptyset)$$

Bu teoremin ispatı zor değil. Aşağıdaki teoremi ispatlayınız.

Teorem 2: $(X,\tau)$ topolojiik uzay$;$ $\mathcal{B}, \ \tau \ $ için baz$,$ $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere

$$x, A\text{'nın değme noktası}\Leftrightarrow (\forall B\in\mathcal{B}(x))(B\cap A\neq \emptyset)$$

Not: $\mathcal{B}(x):=\{B|x\in B\in\mathcal{B}\}$

Answer 1

Gerek Kısmı: $x\in\overline{A}$  ve  $B\in\mathcal{B}(x)$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} \mathcal{B}, \,\ \tau \text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}\subseteq\tau \Rightarrow \mathcal{B}(x)\subseteq \mathcal{U}(x) \\ B\in \mathcal{B}(x) \end{array} \right\}\Rightarrow \!\!\! \begin{array}{r} \\ \left. \begin{array}{r} B\in\mathcal{U}(x) \\ x\in\overline{A} \end{array} \right\} \Rightarrow B\cap A\neq \emptyset.\end{array}$

Yeter Kısmı: $x\in X$  ve  $U\in\mathcal{U}(x)$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} U\in\mathcal{U}(x) \\ \mathcal{B}, \,\ \tau \text{ için baz} \end{array} \right\}\Rightarrow \!\!\! \begin{array}{c} \\ \left. \begin{array}{r} (\exists \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(x\in U=\cup \mathcal{A}) \\ \text{Hipotez} \end{array} \right\} \Rightarrow U\cap A\neq \emptyset.\end{array}$

Comments

İspatın formalizasyonu sağlıklı değildi. Tekrar düzenledim.