Sayilara kume olarak davranmak: $0 \subseteq \emptyset$ ya da $2 \subseteq A$ gibi durumlar

Question

$0 \subseteq \emptyset$ durumu:
Dogal sayilari kumelerle belirttigimizde $$0=\emptyset$$ olur ve $$\emptyset \subseteq \emptyset$$ oldugundan $$0=\emptyset  \subseteq \emptyset$$ saglanir.

$2 \subseteq A$ durumu:
Yine $2$ dogal sayisini bir kume olarak gorursek $$2=\{0,1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$ olur. Ornegin, $$A=\{0,1\}$$ olarak bize verilirse bu aslinda $$A=2$$ demek olur ve dolayisiyla $$2=2\subseteq 2 =A$$ saglanir. 

Buradan su cikar:
$2 \subseteq A$ olamaz demek icin `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir' demek hatali olur. Zaten $$2=\{0,1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$ olarak yazarken de, alenen, kume olarak davrandik.

Soru:
Peki sayilara her zaman kume olarak davranmali miyiz?  `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir'  diyebilecegimiz ve dogru olabilecek bir ortam var midir? Bundan ziyade $$c\subseteq \{a,b\}$$ gibi daha genel durumlarda bu cumlenin dogru olup olamayacagini anlamamiz icin ek bilgilere ihtiyac duyacak miyiz? 

Comments

Kategoriyi daha hakim birisi degistirebilir. Anlasilabilirlik seviyesi olarak su an orta ogretimsel duruyor.

---

Peki sayılara her zaman küme olarak davranmalı mıyız?

Hayır. Çünkü gerek yok.

---

O soru bu cumle ile de baglantiliydi. " `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir'  diyebilecegimiz ve dogru olabilecek bir ortam var midir?"

Neden gerek yok?

---

Iki elemanlı bir kümeye 2 dedin. Sonra bunu sayı olan 2 ile özdeşleştirdin. Benim itirazım şu: bunu yapmana gerek yok. Doğal sayıları böyle tanımlamana gerek yok. Dolayısıyla "2 bir eleman olabilir, küme değildir" cümlesine verecek bir cevap bulamıyorum ben.

---

Eger kumelerde (-kuraminda) $2$ boyle tanimlaniyorsa boyle davranmam gerekmez mi?

---

Yaptığın şey sayı olan $2$'yi tanımlamak değil diyorum ben de. Kümeler kuramı dersinde öğrendiğimiz şey doğal sayıları ve aritmetiği kümelerin dünyasına nasıl taşıyabileceğimiz. Senin yaptığın da iki elemanlı bir kümeye $2$ diyip, bunu sayı olan $2$ ile özdeşleştirmek.

Sayılara küme olarak davranmıyorsun. Kümelere sayı olarak davranıyorsun.

---

Genel olarak once tanima bakariz, verilen tanimlar ne ise ona gore islemlerimizi yapariz. Fakat bu dedigim soru genel, tanimlar verilmeden de sorulabilecek soru. Diyelim ki bir orta okul/lise ogrencisi geldi dedi ki $2\subseteq\{0,1\}$ ya da $2\subseteq\{0,2\}$ dogru mu degil mi? Bunu nasil cevaplamam gerektigini bilmiyorum. 

---

Çemberin temel grubunun tam sayılara izomorf olduğunu biliyoruz. Bir ortaöğretim öğrencisi gelip sayılara çember üzerinde eğriler gibi mi davranmalıyız derse ne dersin?

---

Her bildigini asagiya indirme gibi bir mana anliyorum buradan. Haklisin. 

Sorumun (kendi yonumden) anlasirligini cozmus olabilirim. Asagidaki linkte diyor ki: Zermelo Kume Teorisinde (1908) kume olmayan elemanlar vardi (aynen ilk baslar ogrendigimiz uzere) fakat aksiomatikte gerek kalmadi.

https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement#Urelements_in_set_theory

Su an kendimi fikren tatmin olmus hissediyorum. Zaten sayilara kume gibi davranmaktan uzak durmak istiyordum. Bunu ortaogretim ogrencisine yukaridaki gibi anlatmak zor/gereksiz/agir olabilir/olur. 

- Aksiyomatik Kume Kuraminda isler yukaridaki gibi
- Diger Turlu sayilar kume olmayan nesneler

---

Her bildiğini aşağı indirme demek istemedim yahu. Sadece birinin diğerinden daha doğal olmadığına vurgu yapmak istemiştim. 

Her şeyi kümeler kuramı üzerinden kurmak zorunda değiliz.

Answer 1

Doğal sayı tanımını vererek başlayalım. Kardinal sayıları bildiğimizi varsayıyorum.

Tanım: Tüm boş olmayan sonlu kümelerin $\mathcal{A}$ ailesinde birebir eşleme denklik bağıntısı $\beta$'nın oluşturduğu denklik sınıflarının her birine bir doğal sayı denir. Tüm denklik sınıflarının (doğal sayıların) oluşturduğu $\mathcal{A}/\beta$ bölüm (oran) kümesine de doğal sayılar kümesi denir. Biçimsel olarak şöyle yazabiliriz.

$$\mathcal{A}:=\{A|0<|A|<\aleph_0\}$$ olmak üzere

$$\beta=\{(A,B)|(A,B\in \mathcal{A})(\exists f:A\to B \text{ bijektif})\}\subseteq \mathcal{A}\times \mathcal{A}$$ bağıntısı, $\mathcal{A}$'da bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre oluşan 

$$[A]:=\{B|(A,B)\in\beta\}$$ denklik sınıfına bir doğal sayı;

$$\mathcal{A}/\beta :=\{[A]| A\in \mathcal{A}\}$$ bölüm (oran) kümesine de doğal sayılar kümesi denir. Bu durumda $$[\{\emptyset\}]$$ denklik sınıfı $$1$$ sembolü ile gösterilir ve adına "bir" denir. Buna İngilizler "one", Almanlar "eins", Acemler "yek" demiş. Benzer şekilde

$$[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}]$$ denklik sınıfı $$2$$ sembolü ile gösterilir ve adına "iki" denir. Buna da İngilizler "two", Almanlar "zwei", Acemler "Dü" demiş. Yine benzer şekilde

$$[\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}]$$ denklik sınıfı $$3$$ sembolü ile gösterilir ve adına "üç" denir. Buna da İngilizler "three", Almanlar "drei", Acemler "se" demiş.

$$\vdots$$

Son olarak $$\mathcal{A}/\beta$$ (bölüm) oran kümesi yerine de $$\mathbb{N}$$ gösterimi kullanılmış ve adına doğal sayılar kümesi denmiş.

Yukarıda ifade ettiğimiz tüm bu anlaşmalardan sonra

$$\mathcal{A}/\beta:=\{[\{\emptyset\}],[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}],[\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}],\dots \}$$ yerine daha sade ve ekonomik olması hasebiyle $$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$$ gösterimi kullanılagelmiştir. 

Tüm bu yazılanların kafanızdaki soru işaretlerini -bir nebze olsun- kaldırmıştır diye düşünüyorum.  

Comments

Hayir gidermedi. Bu cevap dogal sayilarla ilgili olmus (gibi geldi bana).

" `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir'  diyebilecegimiz ve dogru olabilecek bir ortam var midir?" ve bir sonraki baglantili soruya cevap alamadim.

---

Benzer şeyleri tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar ile de söylemek mümkün. Ben sadece doğal sayılar ile ilgili olanını yazdım. Bir ara tamsayılar ile ilgili olanını da yazarım.

---

Sorum sayilarin insasi vs gibi degil, belki tam anlatamamis olabilirim soruda emin degilim. Sorum (kumeler kuraminda) sayilara `her zaman' kume olarak davranmali miyiz? ya da davranmazsak ne olur.

---

"1" dediğimiz şey tek elemanlı bir kümenin denklik sınıfı yani

$$1:=[\{\emptyset\}]=\{\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\},\ldots\}$$

Dolayısıyla sayılara birer küme gözüyle bakabiliriz. Her sayı bir kümedir diyebiliriz.Senin sorunda ifade ettiğin yaklaşım Kurt Gödel'in benimsediği bir yaklaşım. O da belirli kümelere isim vermek suretiyle doğal sayıları inşa etmiş. Mesela aritmetik yapmak istiyorsak Peano'nun yaklaşımıyla doğal sayıları inşa etmek daha iyi olabilir.