Ne düşündüğünüzü belirtmediğiniz için açıklama yapmak yerine epey ilgisizmiş gibi gözüken ama çözdüğünüzde bu soruya dair de ipucunu elde edeceğiniz bir soru sormayı daha uygun buluyorum. Soru şöyle:
$a_i\in \mathbb{R}_{\geq 0}$ olacak biçimde $\{a_i\}_{i\in I}$ bir topluluk alalım. Ve ek olarak $I$ kümesinin sayılamaz olduğunu varsayalım. Son olarak da böyle topluluklara uzun reel sayılar $[0,+\infty]$ kümesinden bir eleman atıyan $top$operatörü ele alalım: $$top(\{a_i\}_{i\in I})=\sup \Big\{\sum_{j\in J}a_j|J\subset I, |J|<\infty\Big\}.$$
Artık iddiayı dile getirebiliriz. $top(\{a_i\}_{i\in I})<\infty$ ise $a_i\neq 0$ eşitsizliği yalnızca sayılabilir çoklukta $i\in I$ doğrudur.
İddiayı kanıtlamak için
birinci ipucu: Pozitif reel sayılardan oluşan bir $a_n$ dizisinin tanımladığı seri yakınsak ise, bu dizide, her $m$ pozitif tamsayısı için $$a_n\geq 1/m$$ eşitsizliğini sağlayan sonlu sayıda eleman vardır.
ikinci ipucu: Sayılabilir çoklukta sayılabilir kümenin birleşimi de sayılabilir bir kümedir.
İlgili olarak: http://matkafasi.com/15526/seri-sorusu