$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{...\sqrt 2}}}}=1$ eşitliğini sağlayan en küçük karekök sayısını nasıl buluruz acaba?

Question

Hesap makinesi ile $\sqrt 2=1,4142136...$

$\sqrt{\sqrt 2}=1,1892071...$

$\sqrt{\sqrt{\sqrt 2}}=1,0905077...$

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt 2}}}=1,0442738...$ bu şekilde devamla,

$\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{...\sqrt 2}}}}}_{24\quad \text{adet kare kök}}=1$

Bendeki hesap makinesi 24. de sonucu $1$ olarak veriyor.

Benzer olarak,

$\sqrt[3]{2}=1,4422496...$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}=1,129831...$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}}=1,0415285...$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}}}=1,0415285...$

devamla

$\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{...\sqrt[3]{2}}}}}}_{17\quad \text{tane küp kök}}=1$

$17$ işlemin sonucu $1$ çıkmaktadır.  Hesap makinesinin özelliği ne olursa olsun (tabi en azından herhangi bir kuvvetten kök almalı)  kök kuvveti büyüdükçe daha az sayıda kök alma işlemi  ile $1$'e ulaşılacaktır. Bu açıklamalardan sonra sormak istediğim şey şu:

$a,m,n$ birer pozitif doğal sayı olmak üzere,

1) $\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{...\sqrt[n]{2}}}}_{m\quad \text{adet kök}}=1$ olmasını sağlayan en küçük $m$ kaçtır?

2)$ \underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{...\sqrt[n]{a}}}}_{m\quad \text{adet kök}}=1$ olmasını sağlayan en küçük m   kaçtır?

3)İkinci soru için $a^{1/n^{1/n^{1/n...^{1/n}}}}$ yazılışı mı doğru? Yoksa $(((a^{1/n)})^{1/n})^{1/n}...)^{1/n}$ yazılışı mı?

Comments

3. soruda orta öğretim kitapları ikinci yazdığımı doğru kabul ediyor. O zaman birinci yazılışı köklü nasıl yazardık acaba? 

İkinci yazılışa göre $\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{...\sqrt[n]{a}}}}_{m\quad \text{adet kök}}=a^{\frac{1}{n^m}}$  olarak yazıldığında sonucun $1$ olması ancak $\lim\limits_{n^m \to\infty}$ olması ile mümkündür. Bu durumda m değeri n 'e bağlıdır ama nasıl bulunur?

---

Hocam, üçüncü sorudaki gösterimlerden ikincisinin tek bir anlamı var, birincisinin ise tek bir anlamı yok, muğlak. İki tane kuvvet olduğunu düşünelim. İkinci $1/n$ kuvveti $a^{1/n}$'e mi etki ediyor, yoksa $1/n$'e mi etki ediyor belli değil. Yani birinci gösterim, derdini iyi anlatamayan bir cümle. İkinci gösterim ise derdini iyi anlatan bir cümle. 

---

Böyle bir eşitlik doğru olsa her iki tarafın (kök işareti sayısı kadar) uygun kuvvetini alarak $\sqrt2=1$ (ve $\sqrt[n]2=1$)  elde ederiz.

Pisagor(cular) $\sqrt2$ nin irrasyonel olduğunu 2500 yıl önce gösterdiler.

---

@Dogan hocam, hesap makinasal olarak $1$e esit olabiliyor. Hassasiyete gore o siniri bulmaya calismak bir problem/soru olabilir. 

---

Evet. Soruda da zaten belirtilmiș.

Hesap makinesinin ne kadar hane ile hesap yaptığına göre değişir.

---

Doğan Hocam ben de $\sqrt2$ nin irrasyonel bir sayı olduğunu biliyorum. Bildiğiniz gibi bilgisayarlardaki bazı programlar yardımı ile bir çok hesaplamalar yapmakta ve grafikler/çizimler yapmaktayız. İrrasyonel sayılar içeren bir ifadeye ilişkin elde edilen çıktıların/hesaplamaların ne kadar güvenilir ya da değil olduğunu bilmeliyiz diye düşünüyorum. Ama kullanılan programlarda buna ilişkin herhangi bir uyarı almıyoruz. En azından yuvarlamanın nasıl yapıldığı belirtilebilinir. 

Birde Şafak hocam $2^{2^{2{^2}}}$ şeklinde bir yazılımı muğlak buluyor.  Haksız da değil ama TÜBİTAK'ın bazı sorularında buna benzer ifadelerin olduğunu biliyorum.Acaba muğlaklığı netleştiren bir kabul var mı?

---

Bence bu konu sayısal analiz ile ilgili.Öncelikle kaç tane anlamlı basamağın doğru olmasını istediğimizi tespit etmeliyiz.Sonrasında mutlak hata: 0.5*10^(2-m) (m=anlamlı basamak sayısı) formülüne bağlı kalarak newton-raphson veya bumerank yöntemi ile belirli sayıda iterasonla çözülebilir.

Answer 1

 

100 iterasyonla bile 1 sayisina ulasamadim. 50 basamak kesinlik kullanildi.. Buda demek oluyor ki 1 sayisina ancak sonsuzda ulasilir..

Comments

yanılmıyorsam aynı şey x!!!!!...!!! = 1 (0<x<2) için de geçerli değil mi?

---

Evet dogru.