$X$ baglantili bir uzay ve $f$ fonksiyonu $X$ uzerinde yerel sabit bir fonksiyon olsun. $c \in f(X)$ alalim. Yani, $f$ fonksiyonu $c$ degerini en az bir kere alsin.
Su kumeye bakalim: $$A = \{ x \in X : f(x) = c \}$$
Simdi, $a \in A$ alalim. $f$ yerel sabit oldugu icin, $a$'nin bir acik komsulugunda $f$ sabit olmali. $f(a) = c$ oldugundan, bu sabit $c$ olmali. Yani, $A$ kumesi $a$'nin bir acik komsulugunu icerir. Bu da demek oluyor ki $A$ kumesi acik bir kumedir.
Ayni mantigi kullanarak $X \setminus A$ kumesinin de acik oldugunu gosterebiliriz.
Demek ki
-
$X = A \cup (X \setminus A )$.
-
$A$ acik, $X \setminus A$ acik.
-
$A \cap (X \setminus A) = \emptyset$
Asagidaki onsava gore elimizdeki 3 sart sunu soyluyor: Ya $A$ ya da $X \setminus A$ bos kume olmali. $A$'nin bos kume olmadigini bildigimize gore, $X \setminus A$ bos kume olmali. Demek ki $X = A$. Yani, her $x \in X$ icin $f(x) = c$. f sabit fonksiyon.
Onsav (Ya da Baglantisiz Olmanin Esdeger Tanimi): $X$ bir topolojik uzay ve $A, B \subseteq X$ boskumeden farkli iki alt kume olsun. $A, B$ acik, $A \cap B = \emptyset$ ve $A \cup B = X$ ise $X$ baglantisiz bir uzaydir.