$\mathbb Z[i]=\{a+ib: a, b \in \mathbb Z, i^2=-1\}$ kümesine Gauss tamsayıları (GT) deniyor. Bu sayılar için bölünebilmenin tanımı şöyle veriliyor:
Tanım: $\omega, z$ GT olsunlar. $z=v\cdot\omega$ eşitliğini sağlayan bir $v$ GT varsa, o zaman, $\omega$, $z$'yi bölüyor denir ve $\omega|z$ yazılır. $\omega$'ya $z$'nin böleni denir.
İleride lâzım olacak bir kavram da norm'dur ve tanımı kompleks sayıların normunun karesidir:
Tanım: $z=x+iy$ GT olsun. Norm $N(z)=|z|=x^2+y^2$ şeklinde tanımlanır. Normu $1$ olan GT'ye birim denir.
Normun önemli ve kolaylıkla isbât edilebilecek bir özelliği çarpımsal olmasıdır: $N(a\cdot b)=N(a)N(b)$.
Burada da Öklit algoritmasına benzeyen bir bölme algoritması vardır. Yalnızca, kompleks sayılar sıralı olmadıkları için burada, normların küçüklüğü-büyüklüğü belirleyici oluyor:
Teorem (Öklit Bölme Teoremi): Sıfırdan farklı her $x, y$ GT'si için $q, r$ GT'leri vardır, öyle ki $N(r)<N(x)$ ve $x=qy+r$. $y$, $x$'i ancak ve ancak $r=0$ ise böler.
Bu teorem kullanılarak, bölüm ve kalanlar da bulunabilir:
Öklit Bölme Teoremi Algoritması:
Sıfırdan farklı her $x,y$ GT'si için bölüm $q$ ve kalan $r$ GT'leri bulmak için âdî anlamda bölme yapıp $x/y=u+iv$ şeklinde yazılır ve $u, v$ sayıları kendilerine enyakın $U, V$ tamsayılarına yuvarlanırlar. Sonra da, aranan sayılar $q=U+iV$ ve $r=x-qy$ şeklinde bulunur.
Artık EBOB'un tanımını verebiliriz:
Tanım (EBOB): İki GT $z, \omega$'nın ortak böleni, bu iki sayıyı bölen $y$ sayısıdır. En büyük ortak bölen ise bu ortak bölenlerin normu en büyük olanıdır.
Burada önemli bir fark var. İki GT'nin birden fazla EBOB'u olabilir. $A$ kümesi $z, \omega$'nın EBOB'larının kümesi olsun. Eğer, $N(z)\geq N(\omega)$ ise Öklit algoritmasından $z=q\omega+r$ yazılır. Eğer $g\in A$ ise yani $\omega$ ve $r$'nin EBOB'u ise o zaman, kalan sıfır oluncaya kadar bu devam ettirilir.
Çok lâf kafa şişirir. Bir örnekte görelim:
Örnek: $\frac{3+2i}{1+i}$'nin EBOB'unu bulalım. Önce bölme algoritmasının uygulayalım: $$\frac{3+2i}{1+i}=\frac{5}{2}-i\frac{1}{2}$$ Buradan yuvarlamadan sonra bölüm $q=2-i$ bulunur; yâni, $U=2, V=-1$. Dolayısıyla, $$3+2i=(2-i)(1+i)+i$$ şekline yazılır. $(1+i)=(1-i)i$ şeklinde yazılabildiği için: $$3+2i=(2-i)(1-i)i+i=[(2-i)(1-i)+1]i$$ hâlini alır.
Sonuçata ne alındı?
$$3+2i=(2-i)(1-i)i+i=[(2-i)(1-i)+1]i$$
$$(1+i)=(1-i)i$$ Bu iki ifâdeden, EBOB'un $i$ olduğu görülür. $N(i)=|i|=-1$ olduğundan bu iki sayı aralarında asaldır.
Tamsayılarda yaptıklarımızın güzel bir genişlemesi!