Kenarlarla ters orantılı açıortaylı soru.

Question

İkizkenar olmayan bir $ ABC $ üçgeninde $ A $ ve $ B $ açılarına ait açıortaylar ile bu açıortayların kestikleri kenarların uzunlukları ters orantılıdır. Buna göre $ m(C) $ kaç derecedir? ( soru orijinal hiçbir değişiklik yapmadan yazdım)

Ben öncelikle bu açıortayları $ n_a $ ve $ n_b $ olarak adlandırdım indikleri kenarları da açıların karşılığı olarak $ a $ ve $ b $ olarak adlandırdım ve dedim ki $ n_a.a=n_b.b $ (ters orantılı olduğu için)

Daha sonra bu iki açıortayın kesişim noktası olan $ I $ 'dan $ n_c $ açıortayını geçirdim ve $ m(AIB) $ açısına $ 90+\alpha $ dedim. ( Bu arada bulmak istediğim açıya $ 2\alpha $ adını vermiştim). Sonra açıortay formülünden $ n_c $ 'nin uzunluğunu hesaplayıp bir yere varmaya çalıştım ama devamını getiremedim onu $ C $ açısını bulmaya bağlayamadım nasıl bir yol kullanabilirim? 

(Not: Şekil çizip şekli nasıl LaTeX'e aktarabilirim? geometrik şekil çizebileceğim bir uygulama da lazım bildiğiniz varsa önerebilir misiniz?)

Comments

Bir duzeltme yapalim. $<C=2\alpha$  ise $<AIB=90+\alpha$  olur.

---

Ben aradim taradim (anlayabilecegim) mathematica'yi buldum. En temiz. Hatta buradaki gorselleri mathematica ile yaptim. (animasyon da dahil).

Geogebra bunlar icin kesin daha kolaydir. Su an icin onu ogrenmekten kaciniyorum ama bakindigim kadariyla bunlari cok iyi cizebilecek bir program. Kacinma sebebim, ucgen vs gibi sekilleri cizmeye cok ihtiyac duymamam.

Ek olarak: Geogebra bedava, MAthematica parali olmali. Universite hesaplari ile bedavaya kullanilabiliyor. 

---

Sağolun hocam:)

---

Açıortay uzunlukları için az bilinen  $n_A=\dfrac{2bc}{b+c}cos(A/2)$    ve  $n_B=\dfrac{2ac}{a+c}cos(B/2)$   eşitliklerini  ve  $\dfrac{n_A}{n_B}=\dfrac{b}{a}$   verisini kullanarak  $\dfrac{cos(A/2)}{cos(B/2)}=\dfrac{b+c}{a+c}$  eşitliğine ulaşılıyor. Elimizde bir de $c^2=a^2+b^2-2abcos(C)$  kosinüs teoremi var. Şimdi hüner bunlardan $C$   açısını tesbit etmek. Açıortay uzunluğu için $n_A^2=bc(1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2})$ eşitliği de mevcut. Fakat bunu pek kullanamadım. Bir ara bu eşitlikleri de kanıtlayalım. Bu soruyla ilgili  http://matkafasi.com/109355/acioartay-uzunlugu?state=edit-109355

---

Bu eşitlikleri yazmak aklıma bile gelmemişti. Bunun üzerine ugrasayim. Sağolun hocam:)

---

Bahsettiğim yöntemle ilerleyemedim. Fakat yüksekliklerin kenarlarla ters orantılı olduğunu ve yükseklik ile açıortay arasında kalan açı eşitliğini kullanarak $<C=60$ derece  bulunuyor. 

---

Merhaba hocam. Yüksekliklerin de ters orantılı olduğuna nereden ulastiniz? 2.bahsettiginiz eşitliği bilmiyorum sanırım. 

---

Üçgende bir köşeden (mesela A köşesi) çıkan yükseklik ile açıortay arasındaki açıya $x$  dersek

$<x=|B-C|/2$  ile bulunur. Kanıtı gayet basit. Yüksekliklerin ait oldukları kenarlar ile ters orantılı olması alan eşitliğinden geliyor. Yani

$2.Alan(ABC)=ah_a=bh_b=ch_c$ eşitliğinden bu olguyu görüyoruz.

---

Anladım hocam sağolun:))

Answer 1

Üçgenin $A$  ve $B$  köşelerinden çıkan  yükseklik ve açıortaylar sırası ile $h_a,n_A$  ve  $h_b,n_B$  bu ikilier arasındaki açılar sırasıyla    $\theta$  ve  $\alpha$   olsun.  Problemin hipotezinden   $n_B/n_A=at/bt$  ve her üçgen için geçerli olan  $h_a/h_b=bk/ak$  eşitliklerini yazabiliriz. Bir üçgende bir köşeden çıkan yükseklik ile açıoartay arasında kalan açı (kanıtı kolayca yapılabilir) eşitliğinden   $\alpha=|A-C|/2$   ve  $\theta=|B-C|/2$  eşitlilkleri de mevcuttur. Şimdi $cos\alpha=h_b/n_B=k/t=cos|A-C|/2$    ve     $cos\theta=k/t=cos|B-C|/2$   ise  $cos|A-C|/2=cos|B-C|/2$  trigonometrik eşitliğinden  ya  $A=B$  ya da  $A+B=2C$  olmalıdır. $ABC$  üçgeninin ikizkenar olma durumu dışlandığından geçerli olan ikinci eşitliktir. Üçgenin iç açıları arasındaki $A+B+C=180\,^{\circ}$  ve bu eşitlik birlikte düşünülürse   $<C=60\,^{\circ}$  derece  olduğu görülür.