$\lim_{x\rightarrow -\infty}\ln x = 0$ mıdır ?

Question

$\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=-\infty$ olduğuna göre ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}\ln x= 0$ mıdır ? 

   Bence grafiği çizilecek olursa x değerleri küçüldükçe limit de negatif değerler alarak küçüeceği için kanaatimce sıfır'a yaklaşır.ve sonuca sıfır diyebiliriz.  

  Yorumlayacak olursak nasıl bi durum ortaya çıkar ?

Comments

Grafik çizmeyi denedin mi? $\ln (-1)$ kaç mesela?

---

Grafiği çizdim, hatta 1. Ve 2. Türev yardımıyla.

Logaritmanın tanımı gereği -1 değer alamaz.

---

Aynen öyle. Logaritmanın tanımı gereği sorduğun soru pek anlamlı değil.

---

Hmm şimdi anladım , grafikte de görülüyor ya grafiği aşağı doğru uzandığı için ben de $-\infty$'a kadar negatif değerler alıyor yanılgısına kapıldım.

$\lim_{x\rightarrow \infty}\ln x=0$'dır diyebiliriz ama dimi.

---

Her $n$ doğal sayısı için $\ln e^n=n$ olduğuna göre $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=0$ doğru olabilir mi?

---

x'i $e^{n}$ alırsak mı demek istiyorsunuz? Grafikte gitgide sıfıra yakınsıyor ama.

---

Demek ki o grafik doğru değilmiş.

($\ln$ in tanım kümesi $(0,+\infty)$ ve) $\frac {d\ln x}{dx}=\frac1x>0 $  olduğundan, $\ln x$ fonksiyonu $(0,+\infty)$ aralığında artandır ve $x>1$ için $\ln x>0$ olduğuna göre limit nasıl 0 olabilir ?

---

Anladım şimdi , teşekkürler :)

---

Peki emre bu durumda -5teki değerine 0 diyebilir miyiz?

---

Hayır.Diyemeyiz. Çünkü ;

Tanım : $f:R\rightarrow R^{+}$ , $f\left(x\right)$=$a^{x}$, $a>0$, $a\neq1$ üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir.

 a yerine e alırsak doğal logaritma yani ln fonksiyonu elde ederiz. Tanımda $\log e^{f\left(x\right)}=x$ olduğundan $ f\left(x\right)>0$ olur. Negatif değerler alamaz zaten. Ve x değerli sonsuza giderken de limit sonsuza gider.

 [Yine mi pot kırdık yoksa :) ]

---

Hayır pot kırmadın ama konuyla çok alakasız bir şey söylemişsin, sonsuza giderken limitin sanırım ilgisi yok senin yazdığın yanıtla.

Anladım demişsin, gerçekten anladın mı diye sormak istedim. Genel bir bakış açısıyla yeniden dile getirelim senin söylediğini istersen. $f:A\longrightarrow B$ bir fonksiyon ve $g$ bu fonksiyonun tersi ise, $g$'nin $B$'nin elemanlarında bir anlamı vardır ve bu anlam $A$'dadır. Misal $x\longmapsto e^x$ fonksiyonunun görüntü kümesi $\mathbb{R}_{>0}$ olduğu için, onun tersi olan fonksiyon $\ln$'in pozitif değerler için bir anlamı vardır. 

---

Yok şafak hocam, bilmiyorum konuyla alakasız mı ama ben sadece siz dediniz ya -5 teşekkür sıfır olur mu diye , ben de ona cevap olarak ln'in tanımına dayanıp negatif değerler alamayacağını anlatmak istemiştim.

Answer 1

Aşağıdaki tanımı tekrar hatırlayacak olursak sorduğun sorunun anlamsız olduğunu anlayacaksın.

Tanım: $A\subseteq\mathbb{R},$ $A^a:=\{x|y\in A\Rightarrow x\leq y\}=\emptyset$ $($yani $A$ alttan sınırsız bir küme$),$  $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=L$$$$:\Leftrightarrow$$$$ (\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{R})(\forall x\in A)(x<N\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Senin sorundaki $f$ fonksiyonunun tanım kümesi alttan sınırlı. Oysa tanıma göre $$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$$ limitinden bahsedebilmemiz için fonksiyonun tanım kümesi alttan sınırsız olması gerekiyor. Dolayısıyla sorduğun soru anlamlı değil.

Comments

Hocam, $a$ ne, $A$ ne, $A^a$ ne? Benim bildiğim $X^{Y}$'nin sahip olduğu tek genel kabul olmuş anlam, ya $Y$'den $X$'ye olan fonksiyonlar. Fazlası değil. O yüzden notasyonunuzu açıklamanızda fayda var.

---

$A^a$  ile $A$ kümesinin alt sınırlarının kümesi kastediliyor.

Buradaki sorun benim daha önce  (http://matkafasi.com/108877/sureklilik-tanimina-itirazi-olanlar#c109236  sorusundaki uzun yorumumda ) belirttiğim gibi, bir fonksiyonun bir sayıda limitinden söz etmek istiyorsak, o sayı fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olmalıdır, bunu gözardı edersek HER sayı (çoğu zaman $\varepsilon-\delta$ ile ifade edilen) limit koşulunu sağlar. Bu durum sonsuzdaki limitler için de (azıcık değişik şekilde) ortaya çıkar.

Yığılma noktası olma koşulu yerine:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ limitlerinde $f$ nin tanım kümesi üstten sınırsız olmalıdır.

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$ limitlerinde $f$ nin tanım kümesi alttan sınırsız olmalıdır.

Aksi halde her sayı (hem de her iki sonsuz) da limit olma koşulunu sağladığı gösterilebilir.

Bu soruda fonksiyonun ($\ln$) tanım kümesi alttan sınırlı. O nedenle $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \ln x$ sorusu "anlamsızdır" (başka sözcüklerle de ifade edilebilir). 

Bu cümlenin "limiti yoktur" dan farklı bir anlamı vardır.

---

Haklısın Şafak. Gerekli ilaveleri yapıp düzenledim.

---

Ya haklıyım belkia ama, ne biçim yazmışım ben öyle. Geçen o yorumu yazdığım gece Sinem'le bir irish pub'da bilgi yarışmasına girip birinci olmuştuk, hediye olarak da bize bir şişe viski hediye etmişlerdi. Barda viskiyi de beleş bulunca iyice zom olmuştum, şimdi baktım da, biraz zevzekçe yazmışım yorumumu. Kusura bakma.