$(103232113)_4=8\cdot a+b$ ise $b$ kaçtır?

Question

a ile b birer pozitif tam sayı olmak üzere, 4 tabanında (103232113) = 8.a+b ise, b kaçtır ? detaylı açıklarsanız sevinirim.

Comments

Merhaba, sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

Belli bir tabanda yazılmış bir sayı, başka bir tabanda nasıl yazılır biliyor musunuz?

---

Evet biliyorum, ilk once onluk tabana ceviriyorum sonra onluk tabanda buldugum sayiyi, bolumu cevrilmesi istenen tabandan kucuk olana kadar bolup sag basta ki bolumden baslayarak sol tarafta ki kalanlari da ekleyip boyle buluyorum. Bunu da ayni sekilde yapmaya calisinca onluk tabanda buldugum sayi neredeyse 1000000 a yaklasiyor. Daha kisa bir yolunun olacagini dusunuyorum. Yardimci olursaniz cok mutlu olurum.

---

Bir sayi var, ama hangi sayi oldugunu tam olarak bilmiyoruz. Biliyoruz da, alisitigimiz dilde soylenmemis sayinin adi bize. Baska bir dilde soylenmis. Soru da su: Bu sayinin $8$'e bolumunden kalan kactir? (Sorunun bu oldugu konusunda hem fikiriz degil mi?)

Ne yapabiliriz. Bildigimiz dile cevirip, yani onluk tabanda yazip, ondan sonra $8$'e bolerek kalani bulabiliriz. Bu birinci yontem. Bir de ikinci yontem var. Onu acikca soylemek yerine benzer soru sorup bir ipucu verecegim.

1. $124186437$ sayisinin $20$'ye bolumunden kalan nedir? Bolme yapmadan bulabilir misin?
2. $124186437$ sayisiyla $43956893408740979407934067834637$ sayisinin $20$ye bolumunden kalanlari ayni midir degil midir bolme yapmadan soyleebilir misin?

---

<p>Merhaba ilgilendiginiz icin cok tesekkur ederim oncelikle. Verdiginiz sayilari 20 ile bolmek icin ilk once aralarinda asal olan 4 ve 5 bolerek mi buluruz ? 
</p>

---

Sorunun bu hali ile $b$ bircok deger alir. En kucuk degeri mi?

---

<p>Hayir sadece secenekler var  a)3 b)4 c)5 d)7 e)8 diye  ve  soruda b bu seceneklerden hangisi olamaz diye yazilmis b en kucuk diye birsey yok yani.
</p>

---

"hangisi olamaz diye yazilmis " fakat buradaki soruda $b$'nin kac oldugunu sormussun. Ayrica verdigin seceneklerden $b$ sadece $7$ olabilir, diger dórdú olamaz.

---

Yekaratas, öyle asal çarpanlara girmene gerek yok. Çözümleme yap. Verdiğim sayılar 10luk tabanda nasıl yazılıyor? Mesela, 123576 sayısını ele alalım. Bu sayıyı, 10luk tabanda çözümlersek

$$6\times 10^0+7\times 10^1+5\times 10^2+3\times 10^3+2\times 10^4+1\times 10^5$$

olur. Ama, ama, ama... $10^2$ sayısı, $20$'ye bölünüyor. Dolayısıyla, $10^3$ ve daha büyük kuvvetler de $20$'ye bölünüyor. Bu ne demek? İlk iki terimden sonrakilerin hepsi $20$'ye bölünüyor. Demek ki, $\mod 20$'de yukarıdaki sayı aslında 

$$6\times 10^0+7\times 10^1=76$$

sayısına eşitmiş. Bunun da $20$'den kalanı $16$. Benzer taktiği senin sorun için de kullanabilirsin. Neden olduğunu anladın mı?

---

Sercan, cok ogretici bir aciklama yapmissin sagol.

Safak Ozden moduler aritmatigi henuz bilmiyorum. Ama anladigim kadariyla 1x4uzeri1 + 3= 7 

8/7 den de kalan 1 oluyor dogru mu anladim ? 

---

Evet, aynen öyle. Diğer basamaklar $4^2$, $4^3$ ile çarpılacağı için hepsi teker teker $8$'e bölünecek, dolayısıyla o kısımın kalanı $0$ olacak. 

---

Ne demek! Çözeceğimiz soruyu da anlamak önemli. Yoksa bu sorunun olası cevabı $7$dir fakat olası olası iş yapıp anlamaya çalışmazsak bir yerlerde sorun olur.

Aynen öyle değil. 8i, neden 7ye böldük? Şafak'ın dediği gibi açılımda kalan 8e tam bölünüyor ve bölme işleminde kalan 7 oluyor. Yani bu şu demek ifade 8k+7 oalrak yazılabilir (k tam sayı). 8(k-1)+15 olarak da yazılabilir mesela.

---

<p>Anladim. Yardimlariniz icin cok tesekkur ederim sagolun varolun.
</p>