$2$ neden $3$ü tam bölmez? - Çünkü 3/2 bir tam sayı değildir!? (Bu cevap doğru mu?)

Question

Soru: $2$ tam sayısı $3$ tam sayısını tam böler mi?

Yanlis Cevap: $\dfrac32$ tam sayı değildir.

1) Bu cevap neden yanlis? 
2) Bir doğru cevap veriniz.

Bu soruya şuradan da gelebiliriz: $3$ neden asaldır? Fakat şu an bunu sormuyorum.

_______________________

Birkaç tanım vereyim.

Tanım: $a$ ve $b$ tam sayılar olmak üzere bir $n$ tam sayısı için $$b=a\cdot n$$ sağlanırsa  $a$ tam sayısı $b$ tam sayısını tam böler diyeceğiz.

(Şu an ispatlamadık ama) sabit $b$ ve $a\ne 0$ tam sayıları için eğer $a$ tam sayısı $b$ tam sayısını tam böler ise biricik $n$ tam sayısı vardır. Bunu $$\dfrac{b}{a}:=n$$ olarak yazip $\dfrac{b}{a}$ tanimi verecegiz. (Şu an tam sayılar içerisindeyiz. Daha sonra kesirli sayıları tanımlayacağız bu şekilde ama burada değil).

Comments

$2$'nin $3$'ü tam böldügünü kabullenelim. $3=a.2$ $a$ bir tamsayı olmak üzere $2=\dfrac{3}{a}$ tamsayısı olarak belirlendi. Şimdi $3$'ün çapranlarina bakalım $\left\{1,3\right\}$ değil mi demek ki $3$'ü bölenler $3,1$ ve de $\dfrac{3}{a}$'nın da tamsayı olması gerekiyor (hatta 2) o zaman olası durumlar $\dfrac{3}{3}\neq2$ ve de $\dfrac{3}{1}\neq2$ demek ki şu an $3$'ü $2$'ye bölümü bir tamsayı değil. Fikir olarak yazacaktım ama böyle oldu.:(

---

Cevabın yanlış olmasının sebebi $\dfrac{3}{2}$'nin tamsayı olmadığını bilmiyor olmamız.

---

$3$u bolenler $1$ ve $3$ dersek zaten $2$ bolmez demis olmuyor muyuz?

$3/2$ tam sayi oldugunu bilmemizden ziyade donguye giriyoruz: $3/2$ neden tam sayi olamaz, cunku $2$ $3$u tam bolmez, cunku $3/2$ tam sayi degil, ...

---

O zaman şöyle desek $3=2\cdot 1 +1$ bu ifadede tamsayılar la ilgili hiç birşey bilmediğimizi varsayalım ve yalnızca toplama carpma birim, sıfır ve değişmeli bir halka olduğunu bilerekten; $x \in \mathbb{Z}$ diyelim bu durumda $\dfrac{x+1}{x}$ in tamsayı olup olmadığını bulmak gerekiyor, $1+\dfrac{1}{x}$ tamsayı mıdır. $1$ birim elemandır ve tek böleni kendisidir $x\neq1$ olduğunda $x+1$ $x$'e bölünmez ve $x=1+1=2$ için de bölünmez.(birim elemanı toplayarak bütün elemanları elde edeceğimiz için) çok mu zorlama oldu?

---

Aslinda istedigim tam sayilarin belitlerini ve buradaki tanimlari kullanmak. 

$1$in tek pozitif tam boleninin de $1$ oldugunu ispatlamaliyiz. (Buradaki gibi). Fakat kullanmakta sorun yok, bu soru icin. 

$a\mid b$ ve $a\mid c$ ise $a\mid (b-c)$ saglanir (ispatlamak lazim, kolay). Burada $a=2$ ve (kabul ile) $b=3$ ve $c=2$ alirsak $2\mid (3-2)$ yani $2\mid 1$ saglanir. Bu da yukaridaki bilgi ile celisir.

Answer 1

Eğer $a,b,c \in \mathbb{Z}$ için $a \mid b$ ve $a \mid c$ ise $a \mid (b-c)$ olur. Bunu ispatlayalım; 

$b=aq+0$ ve $c=ap+0$ olsun 

$(b-c)=aq-ap$ olur , yani $(b-c)=a(q-p)$ bulunur o zaman diyebiliriz ki; $a \mid (b-c)$

Şimdi $2$'nin $3$'ü böldügünü farz edelim;

$2 \mid 3$ , $2 \mid 2$ ve buna göre $2 \mid (3-2)$ yani $2 \mid 1$ olur. $1$'i yalnızca $-1,1$ böler (tamsayılardan) o zaman kabullerimizden biri yanlıştır $2$ kendisini böleceğine ve son bölünebilirlik ilişkisini ispatladığımıza göre demek ki $2$ nin $3$ ü bölmesi üzerine kabulümüz yanlıştır. Yani $2$ $3$'ü tam bölmez.